高考数学立体几何3.docVIP

立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 异面直线所成角 直线与平面所成角 若则或 若则 二面角 (为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成锐二面角的平面角) 当为锐角时， 当为锐角时， 二、例题讲解 1.在正三棱柱中，若与所成的角的大小。 解：法一：如图一所示， 设为、的交点，的中点，则所求角是。 设，于是在中， 即 法二：取的中点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系的长度单位， 则由 有 2.如图二所示，在四棱锥中，底面是一直角梯形，且与底面成角。 ⑴若为垂足，求证：； ⑵求异面直线所成角的大小。 解 ：⑴证明：， 再由,得 ⑵如图三所示设分别为的中点，连结。 为平行四边形， 分别为的中点，则或它的补角就是异面直线所成角，而。 在中，由余弦定理可得 所以，异面直线所成角的大小为。 法二：以所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， ， 所以，异面直线所成角的大小为。 3.已知四棱锥中，底面是矩形，分别是的中点。 ⑴求证：； ⑵求与平面所成角的大小； ⑶求二面角的大小。 解析：法一：⑴如图四所示， 取的中点，连接 又因为 所以四边形是平行四边形， 。 又， 。 ⑵连结所成的角。 在。 即所成角的大小为。 ⑶作。 由三垂线定理，得是二面角的平面角。 由 所以，二面角的大小为。 法二：以为原点，如图五所示，建立直角坐标系。 则。 ⑴取的中点，连结 又， 。 ⑵由题意可得，设平面的一个法向量是。 即所成角的大小为。 ⑶设平面的一个法向量为 则 由⑵可得平面的一个法向量是。 。 所以，二面角的大小为。 4.（07福建）如图六所示正三棱柱的所有棱长都为2， ⑴求证： ⑵求二面角的大小。 解析：⑴取中点，连结。 因为是正三角形， 因为在正三棱柱，平面 。 连结 在正方形中，O，D分别为的中点。 在正方形中， 取为原点，的方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系。 则 ⑵ 设平面的法向量为 。 令为平面的一个法向量。 由⑴知， 所以，二面角的大小。 直接法 设与交于G，在平面中，作于F，连结AF 由（1）得 是二面角的平面角。 在中由等面积可求得 又 所以，二面角的大小为。 10