倍角公式典例分析14.docVIP

14、倍角的正弦、余弦、正切 公式：sin2α cos2α tan2α 1．准确理解、熟练记忆运用公式 对于“二倍角”应该有广义的理解，如：4α是2α的二倍角；3α是α的二倍角；是的二倍角；… 2．熟练掌握公式的变形应用 (1)S2α的变形应用1±sin2α＝(sinα±cosα)2；cosα＝， 你会化简cosα·cos2α·cos4α·…·cos2n－1α吗？ (2)公式C2α的变形应用 升幂公式：1＋cosα＝2cos2；1－cosα＝2sin2.降幂公式：cos2α＝；sin2α＝. sinα＝sin2α，cos2α ，tan2α 2、已知sin＝，cos＝－，则角α所在的象限是(　　)A．第一象限　　B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 sinθ＋cosθ＝0θ， 求sin2α，cos2α 2、已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，那么sin2θ等于(　　)A. B．－C. D．－[例3]　求值：. 2、 ＝________.[例4]　证明＝tanθ.[例5]1、在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？ 2、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则tan2＝________. 一、选择题1．下列各式中，值为的是(　　) A．sin15°cos15°B．2cos2－1C. D. 2．已知sin2α＝，α∈，则cosα－sinα的值是(　　)A．－ B. C. D．－ 3．若α∈，则＋的值为(　　)A．2cos B．－2cosC．2sin D．－2sin ．已知α为锐角，且sinαsin＝85，则cosα的值为(　　)A.　 B.　C.　D. 的值是(　　)A．sin2 B．－cos2C.cos2 D．－cos2 ．若tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ的值是(　　)A．－ B．－ C. D. ．若sinα＋cosα＝－，则tanα＋＝(　　)A．1 B．2 C．－1 D．－2 ．cos·cos的值是(　　)A．4 B. C．2 D. ．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是(　　) A. B. C．－ D．－ ．若sin＝，则cos的值是(　　)A．－ B．－ C. D. ．函数y＝的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z)B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 12．(2010·福建省)已知sin10°＝a，则sin70°等于(　　) A．1－2a2 B．1＋2a2C．1－a2 D．a2－1 1．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a1)的两根为tanα、tanβ，且α，β∈，则tan的值是(　　) A. B．－2 C. D.或－2 二、填空题4．已知x∈，cosx＝，则tan2x＝________.15．若sin＝，则cos2α＝________. 1．若cosθ0，且sin2θ0，则角θ的终边所在象限是________．17．如果tan＝2010，那么＋tan2α＝______.18．已知sin＋cos＝，则cos2θ＝__________. 三、解答题．已知tan2θ＝－2，π2θ2π，求的值． ．化简：. ．已知cos＝且x，求的值． ．若πα，化简＋ . ．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos2的值． [解析]　∵sinα＝，∴α为第一或第二象限角． (1)当α为第一象限角时，cosα＝＝，tanα＝， sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，cos2α＝1－2sin2α＝－，tan2α＝＝＝－ (2)当α为第二象限角时cosα＝－＝－， sin2α＝2sinαcosα＝2××(－)＝－，cos2α＝1－2sin2α＝－，tan2α＝＝ [解析]　∵sinα＝2sincos ＝2××＝－0， cosα＝cos2－sin2＝2－2 ＝－0，∴α是第三象限角．故选C. [解析]　∵0sinθ＋cosθ＝1，且0θ，∴θ，2θ∈， 将sinθ＋cosθ＝，两边平方得sin2θ＝－，∴cos2θ＝－＝－. [解析]　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ 又sin4θ＋cos4θ＝，∴1－sin22θ＝即(sin2θ)2＝，∵θ是第三象限角．∴2kπ＋πθ2kπ＋(k∈Z)∴4kπ＋2π2θ4kπ＋3π，(k∈Z) ∴sin2θ0，∴sin2θ＝. []　A [例3] [解析]　原式＝＝ ＝＝＝＝2. [解析]　原式＝ ＝＝＝＝－4. [例] [证明]　左边＝＝＝tanθ＝右边． [例]1、 [解析]　如图，设∠AOB＝θ，且θ为锐角，半圆的半径为