求条件最值问题-缙云中学.DOC

“多元化一元法”求条件最值问题 浙江省缙云中学 吕伟庆 陈伟芳 (321400) 在高考中，常常见到求解在某一条件下的最值问题，此类问题的特点往往是已知条件为两个变量(或两个以上变量)存在某种等式关系或不等式关系，求最值的式子也是有关两个变量(或两个以上变量)的式子。解决此类问题的关键就是通过各种手段使所求最值的式子从多个变元转化为一个变元，最后得以解答。现通过例子说明各种求解策略。 条件代换法 例1已知，则的最大值是_______ 解析：由已知可得 ，(1) 又 把 (1) 式代入 得： 由可得 例 2直线 与圆 有公共点且，则 的取值范围 解析：是直线 与圆 的公共点 有 即 由已知圆与直线要有公共点得： 从而可得 评注：以上两例都是根据所求最值式子与已知条件的联系，把所求最值式子中的一个变量由条件用另一个变量来表示，从而达到多个变元转化为一变元的问题。注意点就是根据条件的限制不要遗漏变量的取值范围。 三角换元法 例3 (93全国联赛题)已知实数满足，设， 求 的值. 分析：把 变形为 利用圆的参数方程易解. 解析：设 据题意得： ，那么 且 因此， 评注：当碰到两个变量的平方和为定值的条件时，我们往往通过三角换元的方式，由多个变元转化为单变元的问题。 几何法 1. 斜率式 例 4 求函数的最大值和最小值. 分析：所求最值的函数式形如已知两点连线的斜率公式，因此问题可转化为两点斜率最值的问题进行解决。 解析： 式子 的几何意义为 两点连线的斜率， 又点 在单位圆上运动，因此问题转化为过点且与单位圆有交点的直线斜率最值问题； 求解得 2. 截距式 例5 已知实数 满足 ，欲使不等式 恒成立，求实数的最小值. 解：由 ，则 恒成立， 小于或等于 的最小值.于是问题转化 为求 上一点，使 有 最小值问题.如图可知：当直线平行于 且与圆 相切于下方时，取最小值 . ，从而 ， 即 的最小值为 . 评注：此类问题关键抓住所求最值的量与几何直线在 上的截距的紧密联系，线性规划问题的解答都是运用此类方法. 3. 距离式 例 6 设，则的最小值是___________. 分析：已知条件表示在第一象限上线段，而表示的是 线段上的点到原点距离的平方； 如图所示可得：的最小值为 4. 三角形式 例 7 已知一动点P在椭圆C：上运动，另一动点Q在圆⊙M：上运动，求两动点连线段长的最小值. 分析：本题若直接设点进行求解计算十分繁琐，难度很大；转化为运用三角形两边之和大于第三边，三角形压扁的临界情况取得最值，从而达到两动点转化为一动点问题. 解：如图，分别连接Q、M，P、M 各两点，从而P、Q、M三点 构成一个三角形，根据三角形的性质得： ，其中是圆的半径定值， 因此要得到 的最小值，即只要达到最小值， 故 (其中圆的半径 )， 易求得：， . 评注：以上四种几何法都是抓住所求最值式子几何意义，代数问题几何化，从而达到多变元转化为一变元的问题，使问题顺利得以解答. 基本不等式法 例 8 设三个正数满足 ，求的最小值. 解析：且 又由基本不等式有： ，即 例 9 设为正实数，且 ，求 的最小值. 分析：当 时，，而 . 解：由基本不等式有 所以 的最小值是 . 评注：当拿到一个问题感到比较陌生时，可以先把问题特殊化，然后找到解题的思路达到个个击破. 单调性法 例 10 已知且.求函数的最值. 解析：且知 ， 而 在上单调递增的， 判别式法 例 11 若 ，求 的最小值. 解：由，得 ① 又由 ，得 ② 将②式代入①式得：， 整理得： ，将它视为关于 的二次方程， 由 为实数，方程有解可得： ，得 . 当 时，. 故 的最小值为 . 评注：通过反代将视为参数，构造关于某个变元的一元二次方程，利用方程的判别式大于等于零，从而求得最值的方法是常用方法. 数形结合法 例 12 对于，，求. 分析：该题涉及两个一次函数与一个二次函数，若能根据题意画出的图象，再利用数形结合的方法，就可以直观地解决问题. 解 如图，在同一直角坐标系中作出的图象；根据的定义可得的分段表达式： 从图中可以看出，当时，. 6