§6.3 置 换 群(离的散数学).pptVIP

§6.3 置 换 群 ;6.3.1 置换的定义 ;置换的例;置换的乘法;满足结合律：(στ)ρ=σ(τρ)，σ,τ,ρ∈ Sn。 Sn中有单位元: n元恒等置换，设为σ0，有：σ0τ=τσ0 ，τ∈Sn 每个n元置换在Sn 中都有逆元素: = ;例. 设σ＝ ，τ＝ 求σ2，στ，τσ， σ-1， τ -1 。 并解方程σx=τ, y τ= σ. 解： σ2= = στ= τσ= σ-1= τ-1= x=σ-1 τ= y =στ-1=;n次对称群;轮换. 设σ是M的置换，若可取到M的元素a1, …,ar 使 σ(a1)＝a2,σ(a2)=a3,…,σ(ar-1)=ar,σ(ar)=a1， 而σ不变M的其余的元素，则σ称为一个轮换， 记为 （a1 a2 … ar ） 例. σ= =（1 3 4）=（3 4 1）=（4 1 3） ;可以把a1，… ，ar中的任意元素ai排在头一位而改写成 （ai ai+1 … ar a1 … ai-1） ;结论：设（a1 a2 … ar ） 是M的轮换，则 （a1 a2 … ar ）-1 =（ ar … a2 a1 ） 证明：往证（ ar … a2 a1 ） （a1 a2 … ar ）=I 命χ为M的任意元 若χ∈｛a1,…,ar-1｝，设χ=ai，则 (ar … a2 a1)(a1 a2 … ar) (ai)=(ar…a2 a1) (ai+1)= ai 若χ= ar ,则 (ar … a2 a1)(a1 a2 … ar) (ar)= (ar … a2 a1)(a1)= ar χ?｛a1,…,ar｝，则(ar … a2 a1)(a1 a2 … ar) (x)=x 总之， (ar … a2 a1) (a1 a2 … ar)(x)=I(x)=x 即，（ ar … a2 a1 ） （a1 a2 … ar ）=I 同理， （a1 a2 … ar） （ar … a2 a1） =I;M的两个轮换 σ=(a1…ar)和τ=(b1…bs)说 是不相杂或不相交，如果 a1,…,ar和b1,…,bs都 不相同(即{a1,… ,ar}∩{b1,…,bs}= ?) 例.设M={1,2,3,4,5,6,7}， （1 3 4）与（6 3 7）是相杂轮换， （1 3 4）（6 3 7）=（1 3 7 6 4）， （6 3 7） （1 3 4）=（1 7 6 3 4）; （1 3 4）与（2 5）是不相杂轮换， （1 3 4）（2 5）= （2 5） （1 3 4）;不相杂轮换;不相杂轮换;定理6.3.2 任意置换σ恰有一法写成不相杂轮 换的乘积。即，任意置换σ可以写成不相杂轮 换的乘积（可表性），如果不考虑乘积的顺序， 则写法是唯一的(唯一性)。 例. =(1 3 5 2)(4)(6 8)(7)=(3 5 2 1)(7)(8 6)(4) 置换的这种表法称为置换的轮换表法 去掉单轮换为轮换表法的省略形式： (1 3 5 2) (6 8);证明： （1）可表性。 设σ是M上置换，任取a1∈M。 若σ（a1） = a1，则有轮换（a1）。 设σ（a1）= a2， σ（a2）= a3，…。由于M 有限，故到某一个元素ar，σ(ar)必然不能再是 新的元素,即σ(ar) ∈｛a1,…,ar｝。由于σ是一 对一的，已有σ（ai）= ai+1,i=1,2,…,r-1，所以 σ(ar)只能是a1.于是得到一个轮换（a1…ar）。; 若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个 轮换，否则设b1不在a1，…，ar之内，则同样作 法又可得到一个轮换（b1…bs）.因为a1，…，ar 各自已有变到它的元素，所以b1，…，bs中不会 有a1，…，ar出现，即这两个轮换不相杂。若M 的元素已尽，则σ就等于这两个轮换的乘积，否 则如上又可得到一个轮换。如此类推，由于M有 限，最后必得 σ=(a1…ar)(b1…bs) …(c1…ct) (1) 即σ表成了不相杂轮换的乘积。 ;（2）唯一性. 设σ又可表为不相杂的轮换的乘积如下： σ=(a’1…a’r’)(b’1…b’s’) …(c’1…c’t’