随机过程课后习题资料.docVIP

习题一 设随机变量X服从几何分布，即：。求X的特征函数、EX及DX。其中是已知参数。 （1）求参数为（p,b）的分布的特征函数，其概率密度函数为 （2）求其期望和方差； （3）证明对具有相同的参数b的分布，关于参数p具有可加性。 3．设X是一随机变量，F（x）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。 （1）； （2），并求（k为自然数）。 4．设相互独立，具有相同的几何分布，试求 的分布。 5．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 6．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 7．设相互独立同服从正态分布，试求n维随机向量的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的概率密度函数。 8．设X、Y相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为的分布。求X+Y的分布。 9．已知随机向量（X, Y）的概率密度函数为 试求其特征函数。 10．已知四维随机向量服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为，求。 11．设X1，X2 和X3相互独立，且都服从，试求随机变量和组成的随机向量(Y1, Y2)的特征函数。 12．设X1，X2 和X3相互独立，且都服从，试求： （1）随机向量(X1, X2, X3)的特征函数； （2）设，求随机向量(S1, S2, S3)的特征函数； （3）和组成的随机向量(Y1, Y2)的特征函数。 13．设(X1, X2, X3)服从三维正太分布，其中协方差矩阵为，且。试求。 14．设相互独立同服从正态分布。试求 的期望。 15．设X、Y是相互独立同分布的随机变量，讨论和 的独立性。 16．设X、Y是相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论和 的独立性。 17．设二维随机变量的概率密度函数分别如下，试求。 （1） （2） 18．设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间[0, 1]上的均匀分布，Y服从参数为的指数分布。求（1）X与X+Y的联合概率密度函数；（2）D(X|Y=y)。 19．设Xn，n=1，±1，±2，…是一列随机变量，且 ，其中K是正常数。试求： （1）当K1时，Xn几乎肯定收敛于0； （2）当K2时，Xn均方收敛于0； （3）当K3时，Xn不均方收敛于0。 20．设，试证明。 习题二 1．设X(i = 1, 2, 3,…)是独立随机变量列，且有相同的两点分布 ，令 ， ，试求： （1）随机过程{Y(n), n = 0, 1, 2, …}的一个样本函数； （2）P[Y(1)=k]及P[Y(2)=k]之值； （3）P[Y(n)=k]； （4）均值函数； （5）协方差函数。 2．设，其中A、B是相互独立且有相同的分布的随机变量，是常数，，试求： （1）X(t)的一个样本函数； （2）X(t)的一维概率密度函数； （3）均值函数和协方差函数。 3．设随机过程 。其中， 是相互独立的随机变量，且。 （1）求{X(t)}的均值函数和相关函数； （2）证明{ X(t)}是正太过程。 4．设是参数的Wiener过程，求下列过程的均值函数和相关函数： （1）； （2） ； （3）； （4）。 5．设到达某商店的顾客组成强度为的Poisson流，每个顾客购买商品的概率为p，且与其他顾客是否购买商品无关，若是购买商品的顾客流，证明是强度为的Poisson流。 6．在题5中，进一步设是不购买商品的顾客流，试证明与是强度分别为和的相互独立的Poisson流。 7．设和分别是强度为和的独立Poisson流。试证明： （1）是强度为的Poisson流； （2）在的任一到达时间间隔内，恰有k个时间发生的概率为 8．设是Poisson过程，和分别是的第n个时间的到达时间和点间距距离。试证明： （1）； （2）。 9．设某电报局接收的电报数组成Poisson流，平均每小时接到3次电报，求： （1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率； （2）下午第一个电报的到达时间的分布。 10．设和分别是强度为和的独立Poisson过程，令，求的均值函数与相关函数。 11．设是强度为的Poisson过程，T是服从参数为的指数分布的随即变量，且与{}独立，求[0,T]内事件数N的分布律。 习题三 证明Poisson随机变量序列的均方极限是Poisson随机变量。 设，是独立同分布的随机变量序列，