材料力学 第11讲变形能法.pdfVIP

第 11章 变 形 能 法 提要：本章主要讨论利用变形能原理解决变形固体在外因作用下的位移计算，其中主 要介绍卡氏定理的有关原理和方法，并利用该法计算杆或杆系的位移问题。 11.1 基 本 概 念 任何弹性体在外力作用下都要发生变形，同时外力作用点要产生位移。因此，在弹性 体变形过程中外力将沿其作用线方向做功，我们将此功称为外力功。用W 表示。当弹性体 的变形在弹性范围内时，外力由零缓慢增加，外力功将以能量的形式储存在弹性体内部， 通常称为变形能，用U 表示。在卸载过程中弹性体有恢复其原状的能力。 根据能量守恒定律可知，若不计其他能量损失，弹性体内的变形能在数值上应等于荷 载所做的功，即： W U (11.1) 根据这一原理求解可变形固体的位移和内力的方法称为能量法。 11.2 变形能的计算 现在讨论杆件在各种基本变形下变形能的计算。 11.2.1 轴向拉伸(压缩)杆弹性变形能 图 11.1(a)所示的受拉直杆，在线弹性范围内，当拉力FP 从零开始增加到最终值时， 杆件伸长Δl ，与拉力FP 之间的关系为一斜直线( 图 11.1(b))，外力FP 所做的功的大小可用 三角形 OAB 的面积来表示： 1 W F Δl (11.2) P 2 根据式(11.1)可知，受拉杆的弹性变形能为 1 U W F =Δl P 2 F l 因Δl P ，上式可写成 EA 2 2 F l EAΔl U P (11.3) 2EA 2l ·236 · 材料力学 (a) (b) 图 11.1 轴向受拉杆外力的功 (a) 受拉直杆；(b) FP 与Δl 关系 11.2.2 受扭圆轴的弹性变形能 圆轴受扭时( 图 11.2(a))，在弹性范围内，外力偶矩从 0 增加到最终值 M ，则扭转角ϕ 与 M 的关系也是一斜直线( 图 11.2(b))，与拉伸时一样，外力偶矩 M 所做的功可用图 11.2(b) 的三角形OAB 面积来表示： 1 W Mϕ (11.4)