热传导问题中分离变量法及数值计算方法的比较分析.pdfVIP

热传导问题中分离变量法与数值计算方法的比 较分析 张钧波，张敏，刘松，许彬 南京理工大学动力工程学院，南京 (210094) E-mail ：zhangm@ 摘 要：在介绍圆柱坐标系中分离变量法求解热传导方程的基本概念基础上，用结构化网格， 对非稳态热传导问题，同时进行数值解和精确解的求解计算。通过比较计算结果，得到了令 人满足的一致性。这些充分证明了分离变量法的可靠性和实用性。 关键词：分离变量法，数值解，精确解 用分离变量方法求解非稳态热传导方程是一种很有效的方法[1-5]，在这里我们将通过分 离变量法，在一定的边界条件下得到问题的精确解。同时采用有限容积方法，在结构化网格 中进行数值计算，并比较两者的结果。 1. 分离变量法的基本概念和方程 [1] 圆柱坐标系中的三维齐次热传导方程为 , 2 2 2 ∂ T 1 ∂T 1 ∂ T ∂ T 1 ∂T 2 + + 2 2 + 2 (1.1) ∂r r ∂r r ∂φ ∂z α ∂t 式中，T ≡T (r,φ, z, t) 。设把变量T 分离成以下形式， T (r,φ, z, t) ψ(r,φ, z)Γ(t) (1.2) 则方程(1.1)变为， 2 2 2 1 ∂ψ 1 ∂ψ 1 ∂ψ ∂ψ 1 dΓ (t ) 2 ( 2 + + 2 2 + 2 ) −λ (1.3) ψ ∂r r ∂r r ∂φ ∂z αΓ(t ) dt 于是，分离方程为， dΓ(t ) 2 +αλΓ(t) 0 （1.4） dt 2 2 2 ∂ψ 1 ∂ψ 1 ∂ψ ∂ψ 2 + + + +λψ 0 （1.5） 2 2 2 2 ∂r r ∂r r ∂φ ∂z 方程（1.5）是亥姆霍兹方程。设把函数ψ 分离成以下形式， ψ(r,φ, z) R(r )Φφ( )Z (z) （1.6） 则方程（1.5）变为， 2 2 2 1 d R 1 dR 1 1 d Φ 1 d Z 2 ( 2 + ) + 2 2 + 2