已知曲面的方程.pptVIP

第七节 二次曲面 * 一、球面方程 （2） 解： 或 在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题: (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。 (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； 半径为 R 的球面 S 的方程. 建立球心在 例1 若球心在原点，则 从而球面的方程为 半径为 R 的球面方程. 方程(2) 就是以 球心 , (3) 为所求平面上的点的坐标所满足的方程。 已知 求线段AB的垂直平分面的方程. 例2 解： 设 配方得 半径为 的球面. 解: 原方程表示球心在点 一般地，设有三元二次方程 通过配方可以化成（2）的形式， 那么它的图形就是一个球面。 例3 方程 表示怎样的曲面? 这条定直线叫做旋转曲面的轴. 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面 叫做旋转曲面， 就是所求旋转曲面的方程。 二.旋转曲面 ——通常多考虑以坐标轴为旋转轴的旋转曲面. 设 过 M 点做 z 轴的垂面，与 z 轴交于P（0,0,z） 点，交曲线 C 于M1（0, y1 , z）,显然 (4) 因为，M1在曲线C上，其坐标应满足 即： P （x,y,z) 设 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 设 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 设 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 旋转轴为 z 轴, 半顶角为 的圆锥面的方程. 试建立顶点在坐标原点 O, 解: 在 坐标面上， 或 这就是圆锥面的方程。 P 例4 直线L 绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋转曲 两直线的交点叫做圆锥面的顶点， 面叫圆锥面， 两直线的夹角 叫做圆锥面的半顶角。 让L绕z轴旋转 解： 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 例5 面上的双曲线 分别绕 轴和 轴一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 将 x O z y 三.柱面 平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 面上的圆 叫做它的准线， 例6 方程 表示怎样的曲面? 圆 在 面： 解： 这曲面叫做圆柱面. 这曲面可以看作是由平行于 z 轴 的直线 沿 面上的圆 平行移动而成, 在三维空间直角坐标系中 其实在 面内的一条直线: 绕z轴旋转而成的旋转 曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为: 即 P11 方程 在空间 直角坐标系中表示： 母线平行于 轴的柱面, 其准线是 面上的曲线 方程 在空间 直角坐标系中表示： 母线平行于 轴的柱面, 其准线是 面上的曲线 方程 在空间直角坐标系中表示： 母线平行于 轴的柱面, 其准线是 面上的曲线 方程中缺哪个字母，母线平行于相应的轴。 P9 方程 在空间直角坐标系中表示： 其准线是 面上的曲(直)线: 母线平行于 轴的柱面, 小 结： 1.曲面的概念 2.球面方程 3.平面方程 4.旋转曲面 5.锥面的方程 6.柱面方程 设 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 方程 在空间直角坐标系中表示：母线平行于 轴的柱面, 其准线是 面上的曲线 一.空间曲线的一般式方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线. 方程组(1)叫做空间曲线 C 的一般方程. 第六节 空间曲线及其方程 二. 空间曲线的参数方程 叫做空间曲线的参数方程。 ● 当 时， 叫做螺旋线的螺距。 取时间 t 为参数， 设当 时， 动点位于 轴上的一点 处， 经过时间 t ， 动点由 运动到 记 在 面上的投影为 所以 解: 例3 构成的图形叫做螺旋线，试建立其参数方程。 如果空间一点 在圆柱面 上以角速度 绕 轴旋转，同时又以线速度 沿平行于 轴的正方向上升， 那么点 则 M’的坐标为: P21 螺旋线在三个坐标平面上的投影（用直角坐标方程表示）？ （1）关于 面的投影柱面