机率与统计(II)1二项分配与期望值二项分配1只有二种结果的.DOCVIP

二項分配與期望值 二項分配 1. 只有二種結果的試驗，稱為伯努利試驗。 配合課本P. 32 2. 對於每次結果只有成功與失敗的伯努利試驗，如果重複做n次，每次試驗結果是獨立的，而且每次成功的機率都是一樣為p，我們想知道這n次試驗中恰有k次（k為整數，且0 ( k ( n）成功的機率，這種機率分配就稱為二項分配（或稱二項分布）。(1)　每次試驗結果只有成功（S）與失敗（F）兩種，　　第i次成功以Xi＝1表示，第i次失敗以Xi＝0表示。(2)　每次試驗成功的機率皆為p，失敗的機率皆為1－p。(3)　前面的試驗結果不會影響後面的試驗結果。(4)　整個實驗包括n次重複的試驗，令X表示n次試驗中成功的次數，即　　　　　X＝X1＋X2＋…＋Xn，以X～B ( n , p ) 表示，　　則n次試驗中恰有k次成功的機率是　　　　　P ( X＝k )＝C pk ( 1－p )，k＝0，1，2，…，n。　　其中　k＝0時，C p0 ( 1－p )n＝( 1－p )n；　　　　　k＝n時，C pn ( 1－p )0＝pn。　　累積機率值為　　　　　P ( X ( k )＝ C p i ( 1－p )。 配合課本P. 34 　　1　　 擲一公正的硬幣10次，求恰有3次正面的機率。 每次出現正面 ( 成功 ) 的機率是，出現反面 ( 失敗 ) 的機率也是，故所求機率為C ( )3 ( )7＝××＝ 1. 擲一顆公正的骰子6次，求恰有4次點數小於3的機率。 點數小於3 ( 成功 ) 的機率是＝，而點數不小於3 ( 失敗 ) 的機率是＝，故所求機率為C ( )4 ( )2＝＝ 　　2　　 一袋中有3個紅球、2個藍球，由袋中取5次球，取後放回，請問5次取出的球中(1)　恰有1次紅球的機率。(2)　恰有3次紅球的機率。(3)　至少有3次紅球的機率。 每次取出紅球的機率是，取出藍球的機率是(1)　恰有1次紅球的機率是C ( ) ( )4＝＝(2)　恰有3次紅球的機率是C ( )3 ( )2＝＝(3)　至少有3次紅球的機率是　　C ( )3 ( )2＋C ( )4 ( )＋C ( )5＝＋＋＝ 2. 一袋中有2個紅球、4個白球，由袋中取6次球，取後放回，請問6次取出的球中(1)　恰有4次紅球的機率。(2)　至少有4次紅球的機率。 每次取出紅球的機率是＝，而取出白球的機率是＝(1)　恰有4次紅球的機率是C ( )4 ( )2＝＝(2)　至少有4次紅球的機率是　　C ( )4 ( )2＋C ( )5 ( )＋C ( )6＝＋＋＝ 　　3　　 已知一枚不公正的硬幣，出現正面的機率為，出現反面的機率為，今擲此硬幣6次，求恰在第6次出現第3次正面的機率。 第6次出現第3次正面，表示前5次中恰出現2次正面，而第6次必須出現正面，故所求機率為C ( )2 ( )3 ( )＝ 3. 有一正四面體的公正骰子，四面點數分別為1、2、3、4。將此骰子連丟5次，觀察底面出現的點數，求恰在第5次出現第4次1點的機率。 觀察底面點數，在第5次出現第4次1點，表示前4次中恰出現3次1點，而第5次必須出現1點，故所求機率為C ( )3 ( ) ( )＝＝ 　　4　　 一個公正的骰子連擲50次，試問1點出現幾次的機率最大？ 50次中，1點出現r次的機率為Pr＝C pr q，　　　　1點出現 ( r＋1 ) 次的機率為P＝C p q，其中p＝，q＝，而＝＝×＝．＝，若＞1，則5r＋5＞50－r，6r＞45，得8 ≤ r ≤ 49，若＜1，則6r＜45，0 ≤ r ≤ 7，於是P0＜P1＜P2＜…＜P7＜P8，且P8＞P9＞…＞P49＞P50，所以1點出現8次的機率最大 4. 一個公正的硬幣連擲100次，試問正面出現幾次的機率最大？ 100次中，正面出現r次的機率為Pr＝C pr q，　　　　　正面出現 ( r＋1 ) 次的機率為P＝C p q，其中p＝，q＝，而＝＝×＝．＝，若＞1，則r＋1＞100－r，2r＞99，得50 ≤ r ≤ 99，若＜1，則r＋1＜100－r，2r＜99，得0 ≤ r ≤ 49，於是P0＜P1＜P2＜…＜P49＜P50，且P50＞P51＞…＞P100，所以正面出現50次的機率最大 二項分配接近常態分配 1. 若X～B ( n , p )，則X有 ( n＋1 ) 種可能值，將這 ( n＋1 ) 種可能值對機率值P ( X＝k ) 畫圖，稱為二項分配機率圖。 配合課本P. 37 2. 當重複試驗的次數n很大時，二項分配機率圖也有中間高而往左右兩邊下降呈鐘形。　 配合課本P. 37 3. 一般二項分配機率值P ( X