高中数学教学论文 过圆锥曲线焦点弦端点切线一个性质.docVIP

过圆锥曲线焦点弦端点切线的一个性质 经过圆的直径两端点的切线是平行直线，这是一个众所周知的结论，那么经过圆锥曲线焦点弦两端点的切线是否也有很优美的结论呢？本人经过探索发现经过圆锥曲线焦点弦两端点的切线确实有很好的性质，下面就对标准位置的圆锥曲线过焦点弦两端点切线性质作一研究。 我们先来研究抛物线的性质． 性质一：过抛物线焦点的弦AB两端点的切线的交点的轨迹是相应的准线,且是定值． 证明：设抛物线的方程为（），过焦点的焦点弦为， 设，则过两点的切线的方程分别为 　　　　① 　　　　② ABPFNCD由①－②得　　 A B P F N C D M因为. M 所以. 又因为. 所以，即. 当然证明，也可以用抛物线的 光学性质来证显得更为简洁. 过作∥轴，过作∥X轴． 由抛物线的光学性质知： ． ． ． 即． 即． 利用平几知识及抛物线定义容易得到.（证明略） 抛物线有上述性质，那么椭圆、双曲线是否也有类似的性质呢？经过探索后发现确实存在类似的性质． 性质二：过椭圆焦点的弦（不与长轴重合）两端点的切线的交点的轨迹是焦点相应的准线，且的取值范围为．(为椭圆的离心率) 性质三：若过双曲线焦点的直线与双曲线交于两点,过两点的双曲线的切线的交点的轨迹是焦点相应的准线（除去该准线与渐近线的交点）,且当在同一支上时的取值范围为；当在两支上时的范围是.(为双曲线的离心率) 先证明性质二： 　　设椭圆的右焦点为，焦点弦（不与长轴重合）两端点的坐标为，则过两点的切线的方程分别为： ① ② 由①②得 （*） 由 ，． ∵三点共线 ． 所以 代入（*） 得，即点的轨迹是焦点相应的准线． 下面证明的取值范围为： 不失一般性设点在轴上方，点在轴下方,即． 则即为的角. ∵ ，． 的角的正切值为 =． 设所在直线为代入椭圆方程即得 化简整理得 ． ， ． ＝ ． 又 ． ． 　 ∴ ． 因为在是增函数． 故 的取值范围是即． 下面证明性质三： 　　设双曲线的右焦点为，过焦点的直线与双曲线交于两点的坐标为，过两点的切线分别为，其方程分别为： ① APBF A P B F 由①②得 （*） 由 ， ． ∵三点共线 ， 所以 代入（*） 得（）．即点的轨迹是焦点相应的准线（除去准线与渐近线的交点）． 下面证明的取值范围： (1)当在同一支上时，不失一般性设点在轴上方，点在轴下方，即,则即为到的角.如图所示． ∵ ， ． 到的角的正切值为 =． 设所在直线为, 因为在同一支上,所以 ，将代入双曲线方程化简整理得 ． ， ． ＝ ． 又 ． ． ，∴ ． 因为在是增函数， 故 的取值范围是即． (2)当不在在同一支上时，不失一般性设点在右支、点在左支，根据对称性先考虑的情况，则即为到的角，如图所示： ∵ ，． 到的角的正切值为 APB A P B F =. 设所在直线为, 因为在两支上且，所以 . 将代入双曲线方程化简整理得 , . ＝ 又 . . ,∴ . 因为在是增函数， 故 的取值范围是． 根据对称性知当时上述结论也成立． 所以当在两支上时 的取值范围是． 通过上述证明我们还可以得到下面一个推论： 过圆锥曲线的准线上一点作的两条切线,则两切点与准线相应焦点共线． 证明略．