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解析函数的性质 华中师范大学物理学院 2008213421 路丽珍 摘要：解析函数作为复变函数的主要研究对象，它具有多种性质，像其共轭性、调和性、保角性。微分性质及积分性质等。 关键词：解析函数 性质 正文： 若函数f(z)在点的ε邻域内点点可导，则称在点 解析；若函数在区域D内点点可导，则称f(z)在区域D内解析；若f(z)在包含 的某个开区域解析,则称在闭区域 中解析。函数f(z)在区域D(或点z)解析的充要条件:在区域D(或点z的ε邻域)内各点u(x,y)和v(x,y)可微并满足C－R条件。解析函数作为复变函数的主要研究对象，它具有多种性质，像其共轭性、调和性、保角性等微分性质及积分性质等。 微分性质：。具体表现为共轭性、调和性、保角性 1.1共轭性 解析函数的实部和虚部通过柯西—黎曼条件互相联系，并不独立。若给定解析函数w=f(z)在某点 的值f()=,则可由v(x,y)求u(x,y)或由u(x,y)求v(x,y)，进而求出w=f(z)。 1.2调和性 二维拉普拉斯方程，在区域D内f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部和虚部都是调和函数。 1.3保角性 映射前后两切线的夹角是相等的。 积分性质：主要包括柯西定理、柯西公式、高阶导数公式和最大模定理等 2.1柯西定理 单通区域的柯西定理：若f(z)在单通区域D内解析，则f(z)在D内的积分与路径无关；复通区域的柯西定理：若f(z)在闭复通区域 中解析，则f(z)沿所有边界线正方向积分之和为零。 2.2柯西公式 单通区域的柯西公式——柯西定理推出的公式:设f(z)在单通区域 D内解析，a为 D 的内点，则f(a)= L：D 的边界线; 复通区域的柯西公式: 设f(z)在复通区域 D内解析，a为 D 的内点，则f(a)=（积分沿的边界线L的正方向） 2.3高阶导数公式 定理：解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为其中：z为 D的内点，z’为 D的边界点 2.4最大模定理 设f（z）在D上解析，则/ f（z）/在D的边界L取最大值。