解直角三角形中考试题特点与复习建议.docVIP

《解直角三角形》的中考试题特点与复习建议 初中阶段的三角函数建立了直角三角形中边与角的直接联系，拓宽了三角形的研究领域，既为利用解直角三角形来解决生产生活中一些简单的实际问题提供了新的工具，又为高中学习任意角的三角函数打下了的基础。《解直角三角形》这块内容是中考复习与考试的重要内容之一，对此，同学们不应忽视。 一、试题特点 近年来，不少省市的中考试题中，出现了与锐角三角函数和解直角三角形有关的题目，从知识角度讲，它主要考查对三角函数概念及其有关计算、解直角三角形的技能及其将非直角三角形转化为直角三角形的思想方法等内容的掌握情况；从能力角度讲，它主要考查对三角函数定义的理解力，将实际问题转化为数学问题的建模能力，以及在综合背景中恰当运用的能力。与三角函数有关的题目很多，形式也多种多样，下面仅选择几个主要方面，从题目的设计角度，用实例加以评说，至于题目的解答可自己完成或查看有关资料。这些评说，同学们不妨认真地读读，也许对你有一定帮助。 1、从特殊角、特定角三角函数的计算、求值等方面设计题目 例1（2001年山东省中考题）计算的结果为（ ）。 （A）1 （B） （C） （D） 评说：这类题目如其说是考查对特殊角三角函数值的记忆是否准确，更多地不如说是考查无理数的运算。当然，能否正确地完成此类题的解答，首先要以记住特殊角三角函数值为前提，因此，记住特殊角的三角函数值是必需的。虽然数学中不提倡过多的机械记忆，但并不是说数学中就不需要记忆。其实，要记住30°、45°、60°的三角函数值是不难的，这可通过直角三角形联系勾股定理和三角函数定义来形象的和推理的“记住”（如图1所示），还可通过练习达到自然记住的目的。 例2（2001年江西省中考题） 如图2,Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BC=3,AC=4,设∠BCD=α,则tanα的值为（ ）。 B （A） （B） （C） （D） A C 评说：求一个非30°、45°、60°的角的三角函数值，其基本思路是利用三角函数的定义来求，当所涉及的这个角不在某一个直角三角形中或虽在某一个直角三角形中但不便于直接求时，可利用另一个与之相等的角进行转换，以求另一个角的三角函数值而达到求这个角的三角函数值的目的。这种转化的思想方法在数学上是非常有用的，同学们应注意体会，并努力在自己的解题实践中学会运用这一思想方法。这里，因为∠BCD =∠ CAD，所以，求tanα就快而容易了。 2、从建立解直角三角形模型来解决实际问题的角度设计题目 例3（2000年长沙市中考题） 如图3，学校测量组在池塘边的A点处测得 ∠BAC=90°，在距离A点10米的C点处测得∠ACB=60°. 根据这些数据，你能算出A、B两点间的距离吗？ A B 请写出解答过程。 （精确到0.1米,≈1.73） C 图3 评说：这是用解直角三角形来解决简单实际问题的最基本模型，通过定义即刻可以求出答案。此题虽然简单，但它确实告诉我们一种算出两点间距离的实用方法：如池塘较大而难以直接丈量出A、B两点间距离时，可先间接测量某些数据，再通过计算而求得结果。这就是数学的力量，这种间接的方法也值得我们借鉴。 例4（2002年福州市中考题）某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图4所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ） （A）450a元 （B）225a元 （C）150a元 （D）300a元 图4 评说：题目中出现的是一个非直角三角形的问题，解决这类题目最有效的方法之一就是化归：通过作辅助线将非直角三角形转化为直角三角形。有了这个思想作指导，问题迎刃而解。该题虽然不难，但所使用的方法值得我们重视。 例5（2002年山西省中考题） 如图5，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°。在M的南偏东60°方向上有一点A，以A圆心、500m为半径的圆形区域为居民区。取MN上另一点B,测得BA的方西南偏。 东75°测得MB=400m,通过计算回答，如果不改变方向，输水路线 是否会穿过居民区？ 评说：此题虽然涉及到方位角，但其实质还是基本模式的变式。 中考题中这类题目还不少，多数只是换了一下情景，或仅增加了一 点复杂性，并没有什么本质上的改变，这就叫做万变不离其宗。此