柯西不等式及排序不等式.docVIP

柯西不等式与排序不等式 一、基本概念： （一）定理1：二维形式的柯西不等式 若都是实数，则，当且仅当时，等号成立. 证明：（一）代数证明： 当且仅当时，等号成立. （二）向量证明：构造向量，则有 其坐标形式即为 当且仅当共线或时等号成立，即当且仅当时，等号成立. 推论1：（来源于向量证明中） 推论2：（将原式中都变为） 定理2：柯西不等式的向量形式 设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立. 证明：上述向量证明已经说明完毕 定理3：二维形式的三角不等式 设，那么 证明： 即原命题的证 （二）一般形式的柯西不等式 设是实数，则 当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立. 简记作：平方和的乘积大于等于乘积和的平方 分析：我们可以利用空间向量很容易证明出三维形式的柯西不等式，但维数再高时就没有几何模型可以构造证明了，那么如何证明这一重要的不等式呢？ 证明：（一）构造二次函数：， （二）归纳法和平均值不等式： （1）当时，有 即命题成立 （2）假设当时命题成立，当时，由于 由平均值不等式，得 由归纳假设得 由（1）（2）得原命题成立 （三）构造单调数列：构造数列，其中 则 即，所以单调减少，从而对一切，有，故命题成立. （四）归纳法证明更强的结论： （1）当时， （2）假设当时命题成立，当时，由归纳假设 由（1）（2）得原命题成立 （三）柯西不等式的变形形式 变形1：已知都是实数，求证： 说明：此变形为的特殊形式，经过整理，在都为正数的条件下可变为均值不等式 变形2：已知都是实数，则： 变形3：已知同号且不为0，则： 上述各种形式如果灵活运用会给解决问题带来便利. （四）排序不等式 设为两组实数，是的任一排列，则 ，当且仅当或时，反序和等于顺序和 简记作：反序和乱序和顺序和 证明：设为两组实数，是的任一排列，因为得全排列有个，所以（1） 的不同值也只有有限个（个数），其中必有最大值和最小值，考虑（1）式，若，则有某 ，将（1）中对换，得（2） 这说明将（1）中的第一项调换为后，和式不减小. 若则转而考察，并进行类似讨论.类似的，可以证明，将（1）中的第一项换为，第二项换为后，和式不减小， 如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是由小到大排序的情况，最大和数是顺序和，即顺序和乱序和 同样可证，最小和数是反序和，即乱序和逆序和 二、习题精练： 【柯西不等式应用】 （一）求最值 例1：设，求证：． 例2：设，求证： 例3：设，求证： 例4：，求的最小值________ 例5：，求的最大值_________ 1. 的最小值为_________ 2.，最小值为_________4 3. 最小值为__________9 4.已知且，则的最小值为___________ 5.已知则的最小值为_______36 6.最大值为_________ 7. ，的最大值为______ 8. 求函数的最大值__________________5 解： 9. 若，且，则的最大值是________ 10. 若，且，则的最大值是________ 11. 若实数满足则的最大值是________ 12.若的最小值为_________ 13.设恒成立，则n的最大值是_________4 14. （ HYPERLINK /exam/2006-06-07/192541160.html \t _blank 06陕西）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 （C） （Ａ）8　　　　（Ｂ）6　　　　（C）4　　　　（D）2 15.（08浙江5）,且，则 ( C ) （A） （B） （C） （D） 16．设a、b为正数，且a+ b≤4，则下列各式中正确的一个是 （ B ） A． B． C． D． 17.设实数满足，，求的最大值 解：，，根据柯西不等式有 ，解得，当时，有最大值 （二）证明 例：求证： 1. 已知，求证： 2.已知，且，求证： 3.为三角形三边，求证： 4. 已知，，求证： 5.设，求证： 6. 若，求证： 7. 且，求证： 证明： 8.且，求证： 证明：同上 9.在中，设其各边长为，外接圆半径为 R， 求证: 10.设为任意实数，求证： 证明：由柯西不等式得 对，有 对，有，故有 则有 原命题得证 【排序不等式应用】 例1：已知为正数，求证： 例2：已知为正数，求证：（利用同向可加性） 1.（08江西）若，则下列代数式中值最大的是（A） A． B． C．