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柯西判别法与达朗贝尔判别法比较
柯西判别法与达朗贝尔判别法的比较 在课本 p.23（下册）已举例说明：存在级数 ，它可以用柯西判别法判定其收敛，但无法用达朗贝尔判别法判断其敛散性。然而，欲说明“柯西判别法略优于达朗贝尔判别法”，必须进行证明。即应证明：若级数 可用达朗贝尔判别法判断其敛散性，亦可用柯西判别法判断其敛散性。 证明：（1）若级数 可用达朗贝尔判别法判定其收敛，则 ，有 ，其中， 是一正常数。由 p.7 推论2，不失一般性，可设：，有 。由此式即可得出：，因此，有 （1） 由于正数 ，必有正常数 使 （只须取正数 即可）。由于极限 ，， 有；即：， 有 ， 由柯西判别法，级数 收敛。 （2）若级数 可用达朗贝尔判别法判定其发散，则 ，有 。由此可得， 。 级数 中， 有 ，即： ，由柯西判别法，级数 发散。级数 与级数 具有同样的敛散性，因此，级数 发散。
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