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数学美与解题 江苏省泰州市渔行实验学校 曹开清（225300） 数学是一个五彩缤纷的美的世界，当我们 EQ 认识到它时，就可以改变对数学的成见，极大地提高学习数学的积极性. 因此在平时的教学中，我们应注意挖掘数学中美的素材，培养学生的审美意识和数学美感. 在解数学题时，应以审美的心态去观察、思考，看能否运用美学的方法——简单性方法、和谐性方法、对称性方法、类比性方法、奇异性方法等来解决数学问题，本文对此略作探索. 一、从整体代换和正难则反中实现简单美 简单性是数学美的基本内容之一，法国哲学家狄德罗说：“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题，而美的解答是指一个问题的简单解答.” 例1 已知一元二次方程ax＋bx＋c＝0的两个实数根分别为m、n，记p＝m＋n， q＝m＋n，r＝m＋n，求ap＋bq＋cr的值. 分析：本题若用根与系数的关系m＋n＝－b/a，mn＝c/a 直接代入，运算非常复杂；若运用方程根的意义，再整体代换，则十分简捷. 解：由方程的定义，得am＋bm＋c＝0，an＋bn＋c＝0，则 ap＋bq＋cr ＝a (m＋n)＋b(m＋n)＋c (m＋n)＝(am＋bm＋cm)＋(an＋bn＋cn) ＝m(a m＋bm＋c)＋n(a n＋bn＋c)＝m·0＋n·0＝0. 例2 学校有132人参加乒乓球选拔赛，采用输一场即予淘汰的单淘汰制. 为了决定第一名，共需进行多少场比赛？ 分析：若从正面考虑，需分别求出每一轮比赛的场数再相加，显然不符合简单性原则，不妨考虑其反面，选拔1人的反面是淘汰131人，而每淘汰1人就要进行1场比赛，故需进行131场比赛. 二、从全局考虑和合理猜测中体现和谐美 希腊数学家裴安说过：“和谐美是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美.”和谐化原则能帮助我们制定解题策略，为我们指明解题方向. 例3 求证：2/1·5/4·8/7·…·(3n－1)/(3n－2)＞ (n为正整数). 分析：不等式左边的结构是有规律的，同时又似乎有点不完整，和谐化原则指引我们把左边的结构补充完整. 解：设A＝2/1·5/4·8/7·…·(3n－1)/(3n－2)， B＝3/2·6/5·9/8·…·3n/(3n－1)， C＝4/3·7/6·10/9·…·(3n＋1)/(3n) ∵2/1＞3/2＞4/3＞0，5/4＞6/5＞7/6＞0， 8/7＞9/8＞10/9＞0，…， ＞＞＞0 ∴A＞B＞C＞0 ∴A＞ABC ＝2/1·3/2·4/3·5/4·6/5·7/6·…·(3n－1)/(3n－2)·3n/(3n－1)·(3n＋1)/(3n) ＝3n＋1. 即A＞，∴原不等式成立. 例4 如图，△ABC中，E是BC的中点，D在AC边上，若AC＝1，∠A＝60°，∠ABC＝100°，∠DEC＝80°. 求S△ABC＋2S△CDE. 分析：△ABC和△CDE都是一般的斜三角形，直接求面积很困难. 注意到∠A＝60°是一个特殊角，从和谐化的角度考虑，若把△ABC整体补形为一个正三角形，问题则迎刃而解. 解：以AC为一边，∠A为一内角作正三角形ACM，作∠MCB的平分线交MB于F. ∵MC＝AC, ∠MCF＝∠ACB＝20°, ∠M＝∠A＝60° ∴△MFC≌△ABC 又∵△CDE∽△CFB，CE＝CB ∴S△CDE＝S△CFB ∴S△ABC＋2S△CDE ＝S△ABC＋S△CFB＝S△ACM＝. 三、从沟通信息和发掘内涵中揭示对称美 对称美的数学内容可谓俯拾皆是，在数学解题中，对称美的体现能收到优化解题过程的功效. 例5 化简＋＋的结果为 （ ）（第16届希望杯全国初中数学邀请赛试题）. A. B. C. D. 1 分析：因原式是a、b、c的轮换对称式，故化简的结果也应是轮换对称式，但选择支A、B、C都不是轮换对称式，因此选D. 例6 已知a＞0, b＞0，且a＋b＝1，求(a＋)(b＋)的最小值. 分析：由题设条件可知 a、b具有对称性，因此猜想当a＝b＝时，原式有最小值，可考虑均值设元. 解：设 (－＜x＜) 则(a＋)(b＋)＝ 显然，当x＝0时，可同时使分子取得最小值25和分母取得最大值4. 因而，当a＝b＝时，原式的最小值为. 四、从直觉判断和类比中发现相似美 数学直觉判断，往往给予面临未能理解的数学对象或关系、结构的问题. 在数学解题中，注意类比联想，常可由问题形式的相似，或结构特征的相似去猜测解题思路、方法的相似等. 例7 已知a、b、c均为非零实数，且(bc－ab)2－4(ca－bc)(ab－ca)＝0 ①， 求证：＋＝. 分析：注意到①式左边的结构与方程根的判别式相类似，不妨构造一个以①式左边为判别式的一元二次方程. 证明：若c