三角形四心向量性质.docVIP

三角形“四心”的向量性质及其应用 一、三角形的重心的向量表示及应用 命题一　已知是不共线的三点，是内一点，若．则是的重心． 证明：如图1所示，因为， 所以 ． 以，为邻边作平行四边形， 则有， 所以． 又因为在平行四边形中，交于点， 所以，． 所以是的边的中线． 　　故是的重心． 　　点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法． 　　例1　如图2所示，的重心为为坐标原点，，，，试用表示． 解：设交于点，则是的中点， 图2 图2 而 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键． 变式：已知分别为的边的中点．则． 证明：如图的所示， 图3 图3 　 　．． 　　变式引申：如图4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点， 则． 　　证明：，， 　　． 点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若与重合，则上式变为0． 二、三角形的外心的向量表示及应用 命题二：已知是内一点，满足，则点为△ABC的外心。 例2 已知G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，点A，B的坐标分别为A（-1，0），B（1，0），且∥，（1）求点C的轨迹方程；（2）若直线过点（0，1），并与曲线交于P、Q两点，且满足，求直线的方程。解 （1）设C（x,y），则G（）， 其中， 由于∥， 故， 外心M（0，）， ，得 轨迹E的方程是 （2）略。 三、三角形的垂心的向量表示及应用 命题三：已知是内一点，满足，则点G为垂心。（2005全国文12） 证明:由. 即 则 所以P为的垂心. 点评：本题将平面向量有关运算、“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识巧妙结合。 变式：若H为△ABC所在平面内一点，且 则点H是△ABC的垂心 BCHA图6证明 B C H A 图6 0 即0 同理， 故H是△ABC的垂心 四、三角形的内心的向量表示及应用 命题四：O是内心的充要条件是 变式1：如果记的单位向量为，则O是内心的充要条件是 变式2：如果记的单位向量为，则O是内心的充要条件也可以是。 例4（2003江苏）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，满足，，则P的轨迹一定通过△ABC的内心 。 PECOABD图7 P E C O A B D 图7 ， ， 设，， D、E在射线AB和AC上。 AP是平行四边行的对角线。 又 ， ADPE是菱形。 点P在 即 的平分线上。 故P点的轨迹一定通过△ABC的内心。 五、三角形外心与重心的向量关系及应用 命题五：设△ABC的外心为O，则点G为△ABC重心的充要条件为： 图8证明：如图8，设G为重心，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC的中点。 图8 ∴ 反之，若， 则由上面的证明可知： 设D为BC的中点，则， 从而， ∴G在中线AD上且AG=AD，即G为重心。 六、三角形外心与垂心的向量关系及应用 命题六：设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是。 证明：如图2，若H为垂心，以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC， 图9则 图9 ∵O为外心， ∴OB=OC， ∴平行四边形OBDC为菱形 ∴ OD⊥BC，而AH⊥BC， ∴ AH∥OD， ∴存在实数，使得 ∴ ①。 同理，存在实数，，使得 ② ③ 比较①、②、③可得，， ∴ 反之，若，则， ∵ O为外心，∴OB=OC ∴ ∴AH⊥CB，同理，BH⊥AC。 ∴ H为垂心。 例6、已知H是△ABC的垂心，且AH=BC，试求∠A的度数 解：设△ABC的外接圆半径为R，点O是外心。 ∵ H是△ABC的垂心 ∴ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∵AH=BC， ∴ ∴ 而∠A为△ABC的内角， ∴ 0＜2A＜360° 从而2A=90°或270° ∴ ∠A的度数为45°或135°。 七、三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用 命题七：△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G、H三点共线（O、G、H三点连线称为欧拉线），且OG=GH。 图10证明：如图10，由命题五、六知，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC的中点。 图10 ，， ∴ ∴O、G、H三点共线，且OG=GH。 例7、已知O（0，0），B（1，0），C（b，c），是OBC