三次函数及导数.docVIP

高考真题全解密 考点十四 导数与三次函数问题 [真题1] （2009年安徽卷）设＜b,函数的图像可能是（ ） [命题探究] 考题的命制，直接给出函数图像，然后设计了四个选项，意在通过对问题的判断， 直接考查三次函数的性质：单调区间和极值问题。这里，函数的化简、图像的观察等等，不仅需要 扎实的基本功，而且还需要熟练的解题技巧。 [知识链接] 1.三次函数图象 a0 a0 0 0 0 0 图 象 x x1 x2 x x x x0 x x x1 x2 x x x0 x 2．函数单调性、极值点个数情况。=， 记 EMBED Equation.DSMT4 =，（其中x1,x2是方程=0的根，且x1x2） a0 a0 0 0 0 0 单 调 性 在上,是增函数； 在上,是减函数； 在R上是增函数 在上，是增函数； 在上，是减函数； 在R上是减函数 极值点个数 2 0 2 0 《规范解答》 [真题2]（2010江西卷）设函数. （1）若的两个极值点为，且，求实数的值； （2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明 理由. .[命题探究] 三次函数是导数内容中最简单的高次函数，其导函数是二次函数，这类问题的难点是研究其中的参数的取值范围.破解难点的方法是对三次函数求导后,化归成二次函数,通过二次函数要的分布求解,或利用数形结合思想画出函数的极大值、极小值后进行对比分析，求出参数的取值范围。解三次函数的问题，可借助导数工具进行研究，推进了二次函数性质的深化与二次函数方法的研究。 《规范解答》 [考题再现]（06福建文21）已知是二次函数，不等式的解集是且在区 间上的最大值是12。 （I）求的解析式；（II）是否存在自然数使得方程在区间内有 且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。 《规范解答》 [抢分秘题] 1．已知函数，当时，只有一个实数根；当有3个相异实根，现给出下列4个命题： ①函数有2个极值点； ②函数有3个极值点；③方程的根小于的任意实根； ④和有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（ ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2010北京卷） 设定函数，且方程的两个根分别为1，4。 （Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式； （Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。 3．（2009江西卷）设函数． （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值； （2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围． 4．已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围． 参考答案: [解析]，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。 或当时，当时，选C [解析] （1）由已知有，从而，所以； （2）由， 所以不存在实数，使得是上的单调函数. [解析]本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。 （I）解：是二次函数，且的解集是 可设在区间上的最大值是 由已知，得 （II）方程等价于方程 设 则 当时，是减函数； 当时，是增函数。 方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。 1.C 2 3．解：(1) , 因为,, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或. 4．解：（1）求导： 当时，，，在上递增 当，求得两根为 即在递增，递减， 递增 （2），且解得：