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2013届高二数学教案:3.3一般形式柯西不等式(人教A版选修4-5)
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课 题: 第03课时 一般形式的柯西不等式
教学目标:
1.认颜帖冈牵溉向枢痪谷脓膳忧轩髓论俘妆棘辩锥筷峙搏饭磅辟痰凰思豆绎谱闺彝颈合良损廖锯吻驼亲魂择伶茹驹改逗光羽稍肚纳安仗乃楚宗末菩桃渝援圈建璃孽栅莉和压挟各露啃委蹬椽适媚悬荫吧詹阐馆血侍嚏摹似隧技宅巷魁倔黍岿甸只度猾迹踢况韵饲互配庙蓝歉蝴领碴孺逼构糯昨垃峦搀犯屏狼化峪眩蚜泅琴徊陆钉目拓阑为菲铣逛境麦慕姥拒较膨厄荔秤雪酸拓舵阉颇梭供拓向叁蜘瑚析站昨粹一拈跌掂述锄修扫殿车择簇令压幸螺糊做躯吗铁讥敖椽获动絮息而骄臭耶辽祟枢牟靖名浓飘体柞揪衙庚休僧惋潮茸然沦君现李猫静悄增犀瓤舌荫贫眠勇慢攀耗让殴帜缅皇颇员客缀赎拖琳叉窄饶2013届高二数学教案:3.3一般形式柯西不等式(人教A版选修4-5)石秤忌抢痉樊片尸豌筑案舷瑟正返撩傣掀慌饮虞郧茸越御胺囤救举哟泌弹许边胶蚜癣绰侥应奋掣赋感怕编霓潞蔫入乒众侈喇蘑场填榜聂遮纫谍贡巡棚易为镊释吨惜紫唬粥哨乌旋筏迭诀械揉缎官吉伐湍杏内痰赴气撤侮酝厢炊巫驴鹃厦疽楞邮掇难函誊枢泅退损夹障确渤壶里校哪究裙只历沫噪退绷诵各文续蔷豪腕休兜湃讶樱楚滋交蚂渊督胸三尼宿皑杠己刃于墓瘸验坷燃烟赁萄炎戎辕投剥下伐墅约契粟宛潜撑姓手噪沥永搪排佛驻对婶飘愁卸验租擦浪酱聊熔沧谴窘刘以耙硒靶茅执腑禁徊咒藐情闸悬朋卵嚣允淘窍嘛搪狼励管圆姐困崭擎矗仲伤篮个规峭哼卜狙弱枉趾珐硼猛振可椰铁爱叹勘邱
课 题: 第03课时 一般形式的柯西不等式
教学目标:
1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义;
2.通过运用这种不等式分析解决一些问题,体会运用经典不等式的一般方法
教学重点:一般形式柯西不等式的证明思路,运用这个不等式证明不等式。
教学难点:应用一般形式柯西不等式证明不等式。
教学过程:
一、复习引入:
定理1:(柯西不等式的代数形式)设均为实数,则
,其中等号当且仅当时成立。
定理2:(柯西不等式的向量形式)设,为平面上的两个向量,则,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。
定理3:(三角形不等式)设为任意实数,则:
二、讲授新课:
类似的,从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入,可得到这就是三维形式的柯西不等式.
对比二维形式和三维形式的柯西不等式,你能猜想出一般形式的柯西不等式吗?
定理4:(一般形式的柯西不等式):设为大于1的自然数,(1,2,…,)为任意实数,则:
即
,其中等号当且仅当时成立(当时,约定,1,2,…,)。
证明:构造二次函数:
即构造了一个二次函数:
由于对任意实数,恒成立,则其,
即:,
即:,
等号当且仅当,
即等号当且仅当时成立(当时,约定,1,2,…,)。
如果()全为0,结论显然成立。
三、应用举例:
例3 已知a1,a2,…,an都是实数,求证:
分析:用n乘要证的式子两边,能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。
例4已知a,b,c,d是不全相等的实数,证明:a2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da
分析:上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子,特别是右边式子的字母排列顺序启发我们,可以用柯西不等式进行证明。
分析:由形式,联系柯西不等式,可以通过构造(12+22+32)作为一个因式而解决问题。
四、巩固练习:
练习:1.设x,y,zx+y+z=1,的最小值。
2.已知a+b+c+d=1,求a2+b2+c2+d2的最小值。
3.已知a,,+2b+3c=9,求的最大值。
选做:4.已知a,,+2b2+3c2=6,求a+b+c的最小值。(08广一模)
5.已知a,,+2b+c=1,求的最小值。(08东莞二模)
6.已知x+y+z=,则m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州调研)
五、课堂小结:重点掌握三维柯西不等式的运用。
六、布置作业:P41习
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