13 双曲线参数方程(教师版).docVIP

13. 双曲线的参数方程 主备： 审核： 学习目标：1. 了解双曲线的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握双曲线的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：双曲线参数方程的应用， 学习难点：双曲线参数方程中参数的意义. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材的内容，理解双曲线的参数方程的推导过程，并注意以下问题： 1. 写出椭圆的参数方程. 答：（为参数）. 2.将下列参数方程化为普通方程： （1）（为参数）； （2）（为参数）. 答：（1）； （2）. 二、新课导学： （一）新知： 1.如图，以原点为圆心，分别以，（）为半径作两个同心圆、. 设为圆上的任意一点，作直线，过点 作的切线与轴交于，过圆与轴的交点作圆的切线与直线交于点，过点、分别作轴、轴的垂线、交于点.设轴为始边，为终边的角为θ点，点的坐标为（），求点的轨迹方程. 【分析】点的横坐标与点的横坐标相同，点的纵坐标与点的纵坐标相同. 而、的坐标可以通过引进参数建立联系. 【解析】由已知，，则，， 因为 所以, 因为，所以， 即，， 由三角函数的定义得， ，，所以点的轨迹方程为 （θ为参数）（，且）.化为普通方程是. 2. 双曲线的参数方程为：（θ为参数）（，且）. 3.双曲线的参数方程：（θ为参数）（，且）中，θ称为双曲线的离心角，注意离心角的几何意义. 4. 双曲线上任意点的坐标可设为. （二）典型例题 【例1】求点到双曲线最小距离. 【解析】设双曲线上的点的坐标为，则 ， 令，整理得， 所以，所以， 解得，所以. 所以点到双曲线最小距离是. 动动手：已知在双曲线上，求到点的距离的最小值. 【解析】设的坐标为，则 当时，有最小值为. 【例2】已知等轴双曲线上任意一点，求证:点到两渐近线的距离之积为常数. 【证明】设点， 因为双曲线的渐近线方程为， 则到的距离为， 到的距离为， 所以 . 所以点到两渐近线的距离之积为常数. 三、总结提升： 教材对双曲线的参数方程要求较低，能够了解双曲线的参数方程的意义就可以了，会使用双曲线参数方程解决简单问题，知道双曲线上的点的坐标可以设为，在使用过程中，要知道恒等式. 四、反馈练习： 1. 双曲线的离心率是 （ C ） A． B． C． D． 2. 方程（为参数）表示的曲线是 （ B ） A. 双曲线 B. 双曲线的上支 C. 双曲线下支 D. 圆 3. 把方程化为以参数的参数方程是 （ D ） A． B． C． D． *4. 曲线（α为参数）与曲线（β为参数）的离心率分别为和，则的最小值为 ( A ) A． B． C． D． 5. 设为等轴双曲线上的一点，、为两个焦点，证明 . 【证明】设，双曲线两个焦点的坐标是、， 所以， ， 所以， 而， 所以. 五、学后反思：