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1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)????? ?(1) =_____________.???????(2)设幂级数 的收敛半径为3,则幂级数 的收敛区间为_____________.(3)对数螺线 在点 处切线的直角坐标方程为_____________.(4)设 为三阶非零矩阵,且 则 =_____________.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数??? ,在点 处(A)连续,偏导数存在???????(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在???????(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间 上 令?则(A)? ????????(B)? (C)? ????????(D)? (3)设 则 (A)为正常数?????????(B)为负常数?(C)恒为零?????????(D)不为常数(4)设 则三条直线?(其中 )交于一点的充要条件是(A) 线性相关???????(B) 线性无关(C)秩 秩 ????(D) 线性相关 线性无关(5)设两个相互独立的随机变量 和 的方差分别为4和2,则随机变量 的方差是(A)8???????????(B)16 (C)28??????????(D)44 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)?(1)计算 其中 为平面曲线?? 绕 轴旋转一周所成的曲面与平面 所围成的区域.?(2)计算曲线积分 其中 是曲线? 从 轴正向往 轴负向看 的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为 在 时刻已掌握新技术的人数为 在任意时刻 已掌握新技术的人数为 将 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数 求 四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)?(1)设直线??? 在平面 上,而平面 与曲面 相切于点 求 之值.?(2)设函数 具有二阶连续导数,而 满足方程 求 五、(本题满分6分)设 连续 且 为常数),求 并讨论 在 处的连续性. 六、(本题满分8分)?设 证明?(1) 存在.?(2)级数 收敛. 七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)?(1)设 是秩为2的 矩阵 是齐次线性方程组 的解向量,求 的解空间的一个标准正交基.?(2)已知 是矩阵 的一个特征向量.?1)试确定 参数及特征向量 所对应的特征值.?2)问 能否相似于对角阵?说明理由. 八、（本题满分5分）设 是 阶可逆方阵,将 的第 行和第 行对换后得到的矩阵记为 (1)证明 可逆.(2)求 九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 设 为途中遇到红灯的次数,求随机变量 的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体 的概率密度为????? 其中 是未知参数 是来自总体 的一个容量为 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量.