例析含有“或”、“且”、“非”命题.docVIP

例析含有“或”、 “且”、 “非”的命题 简单的逻辑联结词是指“或”、“且”、“非”。两个命题通过“或”或“且”连接、在一个命题前加“非”组成新的命题。逻辑联结词“或”、“且”、“非”类同于集合运算中的“并”、“交”、“补”。研究含有“或”、“且”、“非”的命题核心是等价化归，即先研究命题的构成形式，正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”，从而研究含有“或”、“且”、“非”的命题。下面例析含有逻辑联结词的命题，以飨读者。 一、含有逻辑联结词的命题真假判断 常用判断方法是：“”形式的命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式的命题当p与q同时为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式的命题当p与q 同为假时为假，其他情况为真。 例1、命题p：若，则的充分不必要条件；命题q：函数y=的定义域是，则 （ ） A、“p或q”为假 B、“p且q”真 C、p真q假 D、p假q真 解：因为，所以由可以推得，即的必要不充分条件，故命题p为假。由，得x≥3，或x≤－1，即命题q为真。因此选D。 评注：研究含有逻辑联结词的命题真假，其关键是研究命题的构成形式及构成它的两个命题的真假。 练习1：已知命题“p或q”为真，“非p” 为假，则必有（ ） A、p真q假 B、p真q真C、 p假q真 D、p真，q可以为真，也可以为假 解：根据真假判断方法知，p必为真，由于“p或q”为真，一真即真，故q可以为真，也可以为假，所以选D。 二、利用含有逻辑联结词的命题真假，研究参数问题 例2、已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根；命题q：方程4x2+4（m－2）x+1=0无实根。若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围。 解：：由已知，p、q中有且仅有一个为真，一个为假。 因为p等价于，得m＞2，q等价于，得1＜m＜3。 若p真q假，则，即m≥3； 若p假q真，则，即1＜m≤2。 故m的取值范围是。 评注：利用复合命题的真假条件处理问题时，既要注意分类讨论，又要注意命题转化的等价性解题的关键在于将“p或q”为真，“p且q”为假进行等价转化。 练习2：已知c0，设P：函数y＝cx在R上单调递减．Q：不等式x＋| x－2c | 1 的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围． 解：函数y＝cx在R上单调递减 不等式x＋| x－2c | 1的解集为函数y＝x＋| x－2c | 在R上恒大于1， ∵ ∴ 函数y＝x＋| x－2c | 在R上的最小值为2c． ∴ 不等式x＋| x－2c | 1的解集为 如果P正确，且Q不正确，则 如果P不正确，且Q正确，则c≥1． 所以c的取值范围为 三、集合的观点研究命题 例3、已知p：q：，若是的必要条件，但不是充分条件，则m的取值范围是 。 剖析：设p、q分别对应集合P、Q。由题意知，，但q p。故。 解：设p、q分别对应集合P、Q，则P={x}，Q={x}，由题意知，，∴，∴m≥9。 评注：利用了集合的观点，寻找两个集合之间的一种包含关系结合，利用互为逆否命题的等价性，由命题条件求参数的值，利用了数形结合的思想方法。 练习3：设p：，q：，试判断是的什么条件。 剖析：设p、q分别对应集合P、Q。 则P=，Q=。∵，∴q是p的必要不充分条件，∴是的必要不充分条件。