高三数学：直击2010之《高考风向标》第二章——基本初等函数(Ⅰ)和函数应用.docVIP

第二章 基本初等函数（Ⅰ）及函数的应用 ★知识网络 基本初等函数(Ⅰ 基本初等函数(Ⅰ) 幂函数 有理指数幂 整数指数幂 无理指数幂 运算性质 定义 对数 指数 对数函数 指数函数 互为反函数 图像与性质 定义 定义 图像与性质 函数的应用 函数模型及其应用 函数与方程 对数函数 指数函数 几类不同增长的函数模型 二分法 函数的零点 用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型 第1讲 指数与指数函数 ★知识梳理 分数指数幂 根式 如果，那么称为的次实数方根； 式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数 方根的性质：当n为奇数时，=a.当n为偶数时，=|a|= 2．分数指数幂 （1）分数指数幂的意义:a=，a==（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）. （2）有理数指数幂的性质： 二、指数函数的图像及性质的应用 ①指数函数的定义：一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数. ②指数函数的图像 ③底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y轴对称. ④指数函数的性质：定义域：R； 值域：（0，＋∞）；过点（0，1）；即x=0时，y=1. 当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R上是减函数. 画指数函数y=ax（a＞0且a≠1）的图像时，应该抓住两点：一是过定点（0，1），二是x轴 是其渐近线 ★重、难点突破 重点：有理指数幂的定义及性质，指数函数的概念、图像与性质 难点：综合运用指数函数的图像与性质解决问题 重难点：1.指数型函数单调性的判断，方法主要有两种： （1）利用单调性的定义（可以作差，也可以作商） （2）利用复合函数的单调性判断形如的函数的单调性：若，则的单调增（减）区间，就是的单调增（减）区间；若，则的单调增（减）区间，就是的单调减（增）区间； 2. 指数函数的图像与性质 (Ⅰ) 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,对 应关系为 （1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx 则 在轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在轴左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大. (Ⅱ) 指数函数的图像与的图象关于轴对称 3.指数型的方程和不等式的解法 (Ⅰ)形如的形式常用“化同底”转化为利用指数函数的单调性解决，或“取对数”等方法； (Ⅱ)形如或的形式，可借助于换元法转化为二次方程或不等式求解。 ★热点考点题型探析 考点1 指数幂的运算 [例1] （湛江市09届统考）计算： [解题思路] 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算。 [解析]原式 [名师指引]根式的运算是基本运算，在未来的高考中一般不会单独命题，而是与其它知识结合在一起，比如与二项展开式结合就比较常见 [新题导练] 1.（高州中学09届月考）经化简后，的结果是 [解析] ； 2. [解析] ; 考点2 指数函数的图象及性质的应用 题型1：由指数函数的图象判断底数的大小 [例2] 下图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的图像，则a、b、c、d与1的大小关系是（ ） A．; B．； C．；D． [解题思路] 显然,作为直线x=1即可发现a、b、c、d与1的大小关系 [解析] B;令x=1，由图知,即 [名师指引] 由指数函数的图象确定底数的大小关系,关键要从具体图象进行分析 题型2：解简单的指数方程 [例3] 方程的解是_________ [解题思路]将方程化为最简单的指数方程 [解析]；在方程的两边同时乘以得，从而得 所以 [名师指引]解指数方程要观察其特征，在本题中，关键是发现与的关系： 题型3：利用函数的单调性求函数的值域 [例4] 已知2≤（）x－2，求函数y=2x－2－x的值域. [解题思路]求函数y=2x－2－x的值域应利用考虑其单调性 [解析] ∵2≤2－2（x－2），∴x2+x≤4－2x，即x2+3x－4≤0，得－4≤x≤1. 又∵y=2x－2－x是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y≤2－2－1. 故所求函数y的值域是［－，］. [名师指引]利用函数的单调性确定其值域是高考热点，关键在于发现函数的单调性 [新题导练] 3．不等式的解集是___________ [解析] ；由不等式得，解得 4．（金山中学09届月考）若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______. [解析] ；画出函数的草图知，若直线与函数的图象有两个公共点，则，即 5．（广东恩城中学09年模拟）不论为何正实数,函数的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_________ [解析]；因为函数的图象通过定点，故函数的图象一定通过定点 6．（广东广雅中学0