第三节 任意项级数敛散性的判别幻灯片.pptVIP

正、负项相间的级数称为 定义 交错级数. 定理6 (莱布尼茨定理) 一、交错级数及其审敛法 注意：莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件. 例1 判断下列级数是否收敛；如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 解 原级数是交错级数, 由莱布尼兹定理知，原级数收敛； 发散；非绝对收敛； 为条件收敛. 一般地， 级数条件收敛； 级数绝对收敛. 解 所以级数收敛. 例2 例3 解 例4 解 所以级数发散； 故原级数绝对收敛； 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 三、绝对收敛与条件收敛 证明 定理： 由正项级数的比较判别法可知, 上定理的作用： 任意项级数 正项级数 说明: 这是因为它们的依据是 如上例； * 证明： 比值或者根值审敛法断定 若由比值或者根值审敛法断定 则 是因为 明显，如果 必有 所以，必有 注3 因为绝对收敛必收敛，所以很多任意项级数的收敛性问题，就转化为正项级数的收敛性问题. 即：对某一个任意项级数，如果对通项取绝对值得到的新级数收敛（正项级数），则原级数必收敛，而且是绝对收敛。 例4 例5 的绝对收敛、条件收敛或发散性. 判定 解 故原级数绝对收敛. 判定 是绝对收敛、条件 收敛还是发散. 解 绝对收敛. * 例6 解 所以原级数 收敛. 绝对收敛. 是条件收敛还是绝对收敛. 是等比级数, 判定下列级数的敛散性,对收敛级数要指明 * 解 因为 又 (2) 由正项级数的比值判别法知, 从而级数(2) 由于使用的是比值判别法而判定的级数(2) 因此 级数 发散, 不绝对收敛. 不绝对收敛, 发散. 级数(2)是 断定