柱体及锥体的体积公式.pptVIP

08数本2班 邓燕芳 瞧，这么宏伟壮观的金字塔呀！ ——你们能求出它的体积吗？ 看，这不是不复存在的世贸大厦吗？ ——这两个棱柱的体积怎么求？ 想知道吧？ 让我们一起来学习今天的内容吧！ 1、深入探究，揭示新知 设三棱柱ABC-A′B′C′的底面积,即△ABC的面积为S,高即点A′到平面ABC的距离为h，则它的体积为S·h。沿平面A′BC和平面A′B′C，将这个三棱柱分割为3个三棱锥。 （五）作业： 1、三棱锥的底面是ΔABC，AB=13cm，BC=5cm，CA=12cm,侧棱AA`的长是20cm。如果侧棱AA`与底面所成的角是60?，求这个三棱柱的体积。 * * 引入 教学流程 祖暅原理 柱体的体积公式 锥体 的体积公式 随堂练习 小结 夹在两个平行平面间的两个几何体，平行于这两 个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面都 相等，那么这两个几何体的体积相等。 （一）祖暅原理 祖暅 夹在平行平面α、β间的两个几何体，被平行于α、β的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积S1=S2，那么这两个几何体的体积一定相等。 截面 过程 我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就。祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献。祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原理。 祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲知道17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B，1598年~1647年）提出上述结论 。 （429年~500年） （一）祖暅原理： 例如：取一摞书放在桌面上，将它如图那样改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书的体积与变形前相等。 引例： 设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面α内（右图） （二）柱体的体积公式 根据祖暅原理，可知它们的体积相等。由于长方体的 体积等于它的底面积乘于高，于是我们得到柱体的体积公式 V柱体=S?h 其中S是柱体的底面积，h是柱体的高 例1：有一堆相同规格的六角螺毛坯5.8k，已知底面六边形的边长是12mm,高是10mm，内孔直径是10mm,问约有毛坯多少个(铁的比重是7.8g/cm3) 解：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱 的体积与一个圆柱的体积的差. V正六棱柱=[(1.732/2×12×12)×6]×10 ≈3.74×103(mm3) V圆柱=3.14×25×10 ≈0.785×103(mm3) 毛坯的体积 V=3.74×103-0.785×103 ≈2.96×103(mm3)=2.96(cm3) ∴ 5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个) 答:这堆毛坯约有250个。 O N P 巩固知识，灵活运用 （三）锥体的体积公式 设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体，使它们的底面在同一个平面α内。 根据祖暅原理，可推导出定理。 定理：等底面积等高的两个锥体的体积相等。 为了求锥体的体积公式,我们先研究等底等高的任意两个锥体体积之间的关系! 截面 过程 割补 过程 其中三棱锥1、2的底面积相等（SΔA′AB=SΔA′B′B），高也相等（点C 到AB′B′A的距离）；三棱锥2、3也有相等的底面（SΔB′BC=SΔA′B′B）和相等的高（点A到平面BCC′B′）的距离。因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三棱锥的体积是: V三棱锥＝? ? S ? h 1、深入探究，揭示新知 对于一个任意的锥体，设它的底面积为S，高为h，那么它的体积应等于一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积。 1、深入探究，揭示新知 V三棱锥= ? ? S ? h V圆锥= ? ? S ? h h s h s 定理：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是:V锥体= ? ? S ? h 例2 如图,已知:三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD,侧面ABC与底面所成的角θ. 求证:V三棱锥=?SΔABC·ADcosθ. 证明: 在平面BCD内，作DE⊥BC,垂足为E,连结AE,DE就是AE在平面BCD上的 射影.根据三垂线定理，AE⊥