数学归纳法(一)教学课件.ppt

* JXSDFZ 江西师大附中 曾敏 4.数学归纳法(一) 情境1.观察下列各等式，你发现了什么？ 归纳 思考：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？ 问题情境 情境2.观察多米诺骨牌的游戏。 思考（1）你能说出使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么吗? （2）你能类比多米诺骨牌游戏证明情境1中的猜想吗? ， (1)第一张牌能倒下； 使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是： (2)假设第k张能倒下，则一定能压倒紧挨的第k＋1张牌. 学生活动 类比多米诺骨牌游戏证明情境1中的猜想 的步骤为： (1)证明当n=1时猜想成立 (2)证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立. 完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数n都是成立的。 相当于第一张牌能倒下 相当于使所有骨牌倒下的第2个条件 数学建构 证明 ①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立。 例 证明： 递推基础 递推依据 ②假设当n=k时等式成立，即 那么,当n=k+1时，有 这就是说，当n=k+1时,等式也成立。 根据①和②，可知对任何n?N*等式都成立。 数学运用 　 先证明当n取第一个值n0(例如n0=1或n0=2) 时命题成立，然后假设当n=k (k∈N, k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法. 　　一般地，对于某些与正整数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性： 数学归纳法的两个步骤： (Ⅰ)证明当n＝n0 (如n0 ＝1或2等)时，结论正确； (Ⅱ)假设n＝k(k∈N*且k≥n0)时结论正确，并应用此假设证明n＝k＋1时结论也正确． 数学理论 如果 是等差数列，已知首项为 ，公差为 ，那么 对一切 都成立． 证明：（1）当n=1时， 等式是成立的． （2）假设当n=k时等式成立，就是 那么当n=k+1时， 这就是说，当n=k+1时，等式也成立 由（1）和（2）可知，等式对任何 都成立． 练习1 用数学归纳法证明： 递推基础 递推依据 练习2 用数学归纳法证明 证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立． 这就是说，当n=k+1时，等式也成立． 由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立． （2）假设当n=k时，等式成立，即 递推基础 递推依据 那么当n=k+1时， 用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确； （2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确． 递推基础 递推依据 “找准起点，奠基要稳” “用上假设，递推才真” “综合（1）、（2），……”不可少！ 注意:数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误： 练习3 纠错! （1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(n?N*) 证明 ：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(k?N*) 那么，当n=k+1时，有 2+4+6+8+…+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 , 因此，对于任何n?N*等式都成立。 缺乏“递推基础” 事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！ 这就是说，当n=k+1时,命题也成立. 没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法 请修改为数学归纳法 证明 ①当n=1时,左边= , ②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ，即 此时，原等式成立。 那么n=k+1时, 由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确. 证明 ①当n=1时,左边= , 这才是数学归纳法 ②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ，即 右边= 此时，原等式成立。 那么n=k+1时, 这就是说，当n=k+1时,命题也成立. 由 ①②知