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lt99429第2章 總習題 一﹑概念題 1. 下列哪些平面與平面E﹕x－2y＋3z＝2恰相交於一直線﹖(1) E1﹕x－2y＋3z＝3，(2) E2﹕2x－4y＋6z＝4，(3) E3﹕x－2y＋z＝2，(4) E4﹕(3x＋6y－9z＝3，(5) E5﹕x＋y＋z＝1﹒ Ans：(3)(5) 【詳解】平面E﹕x－2y＋3z＝2的法向量為﹒ (1) 平面E1﹕x－2y＋3z＝3的法向量為﹐但E1與E相異﹐故E1與E平行﹒ (2) 平面E2的方程式可改寫成x－2y＋3z＝2﹐與E相同﹐故E2與E重合﹒ (3) 平面E3﹕x－2y＋z＝2的法向量為(1，(2，1)與不平行﹐故E3與E相交於一直線﹒ (4) 平面E4的方程式可改寫成x－2y＋3z＝(1﹐其法向量為﹐但E4與E相異﹐故E4與E平行﹒ (5) 平面E5﹕x＋y＋z＝1的法向量為(1，1，1)與不平行﹐故E5與E相交於一直線﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(3)(5)﹒ 2. 下列哪一條直線與平行﹖(1) (2) (3) (4) (5) Ans：(4) 【詳解】因為當兩直線平行時﹐它們的方向向量互相平行﹐所以僅(4)(5)可能與平行﹒ (4) 因為通過點((3，(2，(1)﹐代入﹐得（不合）﹐故與平行﹒ (5) 因為通過點((1，(2，(3)﹐代入﹐得（成立）﹐故與重合﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(4)﹒ 3. 下列哪一個值使得方程有無限多組解﹖(1) (2) ，(3) ，(4) ，(5) Ans：(3) 【詳解】將聯立方程式編號為﹐然後用加減消去法求解如下﹕由(－(及(－(消去x﹐得﹐因為有無限多組解﹐所以(﹐(為相同的方程式﹒由(解得﹐代入(﹐解得a＝3﹒故正確的選項為(3)﹒ 二﹑程序題 4. 已知空間中﹐﹐﹐四點﹐求(1) 平面的方程式﹒(2) 點到平面的距離﹒ Ans：(1) 2x＋2y－z＝0，(2) 2 【詳解】 (1) 由A﹐B﹐C三點的坐標可得﹐﹐且與的外積為﹒因為外積與﹐均垂直﹐所以取(2，2，(1)為平面ABC的一個法向量﹐並設平面ABC的方程式為2x＋2y－z＝d﹒因為平面通過點C(0，0，0)﹐所以d＝0﹐即平面ABC的方程式為2x＋2y－z＝0﹒ (2) 利用點到平面的距離公式得﹕D點到平面ABC的距離為﹒ 5. 求包含直線且與平面垂直平面的方程式﹒x－y＋z＝4 【詳解】直線的方向向量為﹐平面2x＋3y－z＝2的法向量為﹒因為平面E包含直線且與平面2x＋3y－z＝2垂直﹐所以E的法向量與﹐皆垂直﹐即是E的一個法向量﹐因此可設E的方程式為2x－y＋z＝d﹒因為直線上一點(1，(1，1)在平面E上﹐所以將(1，(1，1)代入2x－y＋z＝d﹐得d＝2(1－1(((1)＋1＝4﹐故平面E的方程式為2x－y＋z＝4﹒ 6. 空間中﹐一道雷射光由點射向點﹐行走的路徑中與軸交於點﹐求﹐二點的坐標﹒ Ans：B點坐標為(6，(3，(6)﹐C點坐標為(4，0，0) 【詳解】因為直線AB通過點A(0,6,12)﹐且﹐所以直線AB的參數式為（t為實數）﹒因為x軸上任意點的y﹐z坐標均為0﹐所以z＝12－18t＝0﹐解得﹐代入y＝6＋(b－6)t﹐得﹐解得b＝(3﹐最後將代入x＝6t﹐得x＝4﹒故B點坐標為(6，(3，(6)﹐C點坐標為(4，0，0)﹒ ◎7. 已知通過﹐兩點﹐直線通過﹐兩點﹐求與之公垂線段端點的坐標﹒(1，1，0)與(0，0，2) 【詳解】由題意可得﹕直線L1通過(2,0,0)﹐(0,2,0)兩點﹐方向向量﹐其參數式為（s為實數）﹔直線L2通過(0,0,2)﹐((2，(2，0)兩點﹐方向向量﹐其參數式為（t為實數）﹒設公垂線L與L1相交於P點﹐與L2相交於Q點﹒因為P點與Q點分別在直線L1與L2上﹐所以可設P點坐標為(2－2s，2s，0)﹐Q點坐標為((2t，(2t，2－2t)﹐由此假設可得﹒因為與直線L1與L2的方向向量﹐均垂直﹐所以﹐整理得﹐解得﹐即P點的坐標為(1，1，0)﹐Q點的坐標為(0，0，2)﹒故公垂線段端點的坐標分別(1，1，0)與(0，0，2)﹒ 三﹑數學解題 8. 右圖中﹐ABCDEFGH一個正立方體﹐它的面EFGH所在的平面方程式﹐且A點坐標為﹒(1)直線AE的(2)E點坐標﹒(1) （t為實數），(2) (3，2，2) 【詳解】 (1) 因為直線AE的方向向量即為平面x－2y＋2z＝3的法向量(1，(2，2)﹐又直線AE通過點A(1，6，(2)﹐所以直線AE的參數式為（t為實數）﹒ (2) 因為E點為平面EFGH與直線AE的交點﹐所以將代入x－2y＋2z＝3﹐得(1＋t)－