例7用拉格朗日中值定理证明：分析.PPTVIP

* 微 分 中 值 定 理 及 导 数 的 应 用 中 值 定 理 导 数 的 应 用 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 罗必达法则求极限 导数判断函数的极值（第一、二充分条件）、单调性 二阶导数判断曲线的凹凸与拐点 证明不等式 利用函数的单调性与极值 利用中值定理 讨论方程的解 中值定理 介值定理 单调性 极值 泰勒公式 麦克劳林公式 1、 求极值拐点判断增减 、 凹 凸性的步骤 2 、描绘函数图形的步骤 二.例题 例1 设 求 解 因为当 时, 在 与 之间) ( 在 与 之间应用拉格朗日中值定理得 即 因为当 时, 所以 总习题三 2 解 单增. 可知 又 于是 (2)入选. 例2 设在 上 则 或 的大小顺序是_____________。 证明 则 易验证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件，则 使 即 又 故 例3 分析： ？ 作辅助函数 构造函数 学习指导P40例3.5 证明： （1）分析: 设 则 在 上连续，且 由零点定理， 存在 使得 即 （2） 构造函数 例4 已知函数 在 上连续，在 内可导，且 证明： （1）存在 使得 （2）存在两个不同的点 使得 2005年研究生入学试题 数学一 (12分） 在 上用拉格朗日中值定理， 使得 例5 证明方程 只有一个正根。 证明 （1）设 对于 在 上满足拉格朗日中值定理的条件， 因此 使得 在 内单调增加。 （2）因为 由零点定理 使得 综合（1）、（2）知，该方程有唯一正根。 证 设 显然 在 上满足柯西中值 定理的条件， 则 即 例6 设 函数 在 上连续，在 内可导， 试利用柯西中值定理证明： 使 分析 总习题三 6 例7用拉格朗日中值定理证明： 分析： 只要证明 即可。 证 构造函数 则 在 上满足拉格朗日中值定理的条件， 即 构造函数： 函数在[a,+∞)上单调增加。 证明： 例8 设 都是可导函数，且 证明： 当 时， 分析： 总习题三 7 例9 求下列极限 总习题三 8 解 （1）设 例10 设 存在,证明 证明 学习指导P48例3.21 总习题三 17 例11 写出函数 在 处的 n 阶泰勒公式。 解 （ξ在 2 与x之间） 或 总习题三 9 证明 F(x)在x=0处的二阶泰勒展开式为 于是 . 又 故 . 思考 该题也可用罗尔定理证明. 例12 学习指导P42例3.11 例13 求数列 的最大项。 解 设 令 得 当 时， 当 时， 所以 为唯一的极大点， 最大项为 学习指导P50例3.24总习题三 13 解 由于 即 例14 已知 (a) 则在 处_____. 导数存在且 (b) 取极大值; (c) 取极小值; (d) 导数不存在. 分析：由于不知道 是否可导, 所以要判别其极值只能用定义. 根据极限的保号性： 使得当 时， 是 因此 的极大值。 均有 解 令 又 因此 例15 所以当 当 时, 时, 例16 当a取下列哪个值时，函数 恰有两个不同的零点。 (A) 2; (B) 4; (C) 6; (D) 8. 解 显然， 令 得 的两个驻点 + 0 — 0 + 2 1 x x’ 1 2 x” y * * *