基解矩阵的一种求法.pdfVIP

第21卷第6期 高等函授学报(自然科学版) V01．21No．6 of Education(Natural 2008 2008年12月 Journal Correspondence Sciences) Higher ·大学教学· 基解矩阵的一种求法 王随社1’2，储亚伟2 (1．华东师范大学数学系．上海200000；2．阜阳师范学院数学系．安徽阜阳236041) 摘 要：给出基解矩阵的一种求法．论证了这种方法的理论基础。并举例说明了这一方法。 关键词：基解矩阵；特征根；常系数线性微分方程组 中图分类号：0151．21文献标识码：A 文章编号：1006—7353(2008)06～0019—03 对于常系数线性微分方程组 换，即AB=BA，则 工7=Ax (1) exp(A+B)=expA·expB 其中A是n×n的常数矩阵，x=x(￡)是未知引理3121若垂。(￡)是(1)的基解矩阵，C是 的n维列向量，expAt是它的一个基解矩阵。但由n阶可逆的常数矩阵，则 于expAt是无穷矩阵级数，一般不易求出。本文利 中2(￡)=中。(￡)C也是(1)的基解矩阵 用矩阵A的Jordan标准形及待定系数法求出方 2结论和证明 程组(1)的一个基解矩阵垂(￡)，当然也顺便由公 定理1 设丁为可逆矩阵，则有exp(TAT-1) 式expAt=垂(￡)矿1(0)得到expAt． 一T(expA)T-1． 1预备知识 引理Itll设A是nx咒的常数矩阵，则存在 可逆矩阵丁使T_1AT=J，其中J为Jordan形矩 阵，即：J—diaj(．，。，J：，…，J，)这里 A』 1 定理2 若J—diag(．，l，J：，…，J，)，则 ～ expJt=diag(expJlt，expJ2t，…，expJit) Jj= ●● 证明 由矩阵指数的定义和分块对角阵的 、． 1 乘法即得结论。 A， 定理3 设以；阶方阵N= 为n，阶Jordan块矩阵，而且尢l+n2+…+ n，=n，z为矩阵A一旭的初等因子的个数，nj为 l 对应初等因子的阶数。 。～ 。． ．则有 ‘． 1 由于相似的矩阵有相同的特征多项式，所以 O 在引理l中有：JAE～A J=J旭一JJ=(A— 加 O 1 A。)1，(A—A2)～…(A—A，)”，，即A。，A2…A，是A的特 0 0 征根，其间可能有相同者。但是．，的主对角线上Aj ●● Nz= ●● 的个数(即含有■的Jordan块的阶数之和)等于 O