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(导数与微分);第二章 导 数 与 微 分;第一节 导 数 概 念; 2 切线问题 有很多实际问题与曲线的切线有关, 例如有关运动的方 向问题, 有关光线的入射角和反射角问题等. 我们知道圆的 切线可定义为“与圆只有一个交点的直线”，对于更复杂的 曲线, 我们把曲线的切线定义为“与曲线只有一个交点的直 线”就不合适. 过p点的直线L是曲线C上的切线, 但不符合 上面的 定义. 下面我们给出切线的定义.;设曲线C 是函数y=f(x)的图形, M0(x0,y0) 是曲线C上的一点 y0=f(x0)，在曲线C上 任取一点M(x,y), 连接这两点的直线称 为曲线的割线, 此割线的斜率为;3. 现在我们来研究收益对销售量的变化率---边际收益 若某商品的总收入(收益)R是销售量q的函数, 即 R=R(q) (q0) ，求当销售量为q0个单位时总收益的变化率？ 若销售量q由q0改变到q0+△q,则总收益R取得相应的改变量;二、 导数的定义; 如果上述极限不存在, 就说函数在点x0处不可导, 或说没 有导 数， 如果上述极限为无穷大, 虽然也是极限不存在，但有时说 函数 f(x) 在点x0的导数为无穷大, 即有广义导数。 相应地, 如果将上述极限过程为△x→0+, 就是单侧导数, 点x0的右导数与左导数,分别为; 显然, 存在的充分必要条件是 都存在, 且 ;即有;例1 试按定义取函数 的导数。; 在理解导数的概念和用导数的定义来求导数时，我们通 过上述例子应该明确下面几点.;(1) 函数y=f(x)的改变量△y=f(x+△x)-f(x); 当x固定时, △y 是随△x的变化而变化的，即是△x的函数,当x发生变化 时, △y也是x的函数，故△y是x, △x两者的函数。同样, 它们的变化率一般说来也是两者的 函数， 这说明函; 函数f(x)在点x0处可导即表示△y和△x是同价无 穷小量 或者△y比△x高价的无穷小量.这表示导数必须依赖于极限. (3) 导数f’(x)是x的函数,它和△x没有关系. (4) 令x0+△x=x,则△x=x0-x,当△x→0时,x→x0,导数有如下 的表示法.;例2 设 存在,求下列各极限;姐恃将混烹朗厢敝迎殿错侥士奥才傣客脾定虹骆缓殃罢乙渤粒弦净摇橱童高等数学大学经典课件2-1高等数学大学经典课件2-1;例3 设f(x)在x=1处连续,且;导数不存在;(1) 常数y=C的导数; 在下一讲中我们可以知道这个导数公式对于任意实数μ 也是成立的，有;（3）指数函数y=ax(a0,a≠1)的导数;下面证明; 上面我们讨论了导数的定义,从定义上看导数是两个无 穷小之比的极限.如果导数存在,则△y和△x这两个无穷小分 别是等阶, 同阶的，低阶的。 从上面导数的举例中,我们得到下列的求导公式;(1)常数C的导数. ( C )’=0. (2)幂函数f(x)=xn (xn )’=nxn-1 (3)指数函数f(x)=ax (ax )’= ax lna 特别是f(x)=ex (ex)’= ex (4)对数函数f(x)=logax (logax)’=1/(xlna). 特别是f(x)=lnx (lnx)’=1/x (5)三角函数f(x)=sinx (sinx)’=cosx f(x)=cosx (cosx)’= - sinx. 在今后的计算中我们不用定义求导数而直接使用上面的公式.;例5 下面的求导验算正确否？如有错误，则改正之。;例6 设f(x)=(x3-a3)φ(x),其中φ(x) 在x=a处连续, 求f(x)的导数.; 证明: 因f (x)为偶函数,f(△x)=f(-△x), 由导数定义,有; 用导数定义求可导函数的差值与其自变量为无穷小之比 的极限;三. 导 数 的 几 何 意 义; 导数的几何意义是曲线在该点的切线的斜率. 由点斜式???程可知 曲线 y=f(x) 在M0(x0,y0)的切线方程 是;我们知道,法线和切线相互垂直,它们斜率的