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第九章 奇异最优控制; 奇异最优控制问题是在以下情况下产生的。对于任何最优控制问题，无论是奇异的还是非奇异的，使得哈密顿函数H取极值的弧被定义为极值弧。如果此极值弧不能使控制向量表示成状态向量和协状态向量的函数，那么问题就是奇异的，下面具体分析一下奇异最优控制问题。 ;9.1 奇异最优控制问题的提出; 在正常情况下，函数 在控制区间 中只有有限个零值点。控制变量在其约束的边界上取值，得到的最优控制为Bang-Bang控制。但在奇异情况下，至少有一个函数 在某一区间 上恒等于零。 ; 在线性二次型性能指标最优控制问题中也有类似的奇异情况。可以将性能指标中的被积函数取为 。其中 项的出现体现了对控制变量的约束，可以使最优控制 的值在合理的范围内。如果直接规定控制变量满足如下不等式约束 ; 这时就没有必要在性能指标中出现 项了。此类问题与规范调节器的差别在于控制的不等式约束，且 。哈密顿函数 也是控制变量 的线性函数。若在控制区上 ， 只存在有限个零值点，则是Bang-Bang控制。如果在某一控;这时就没有必要在性能指标中出现 项了。此类问题与规范调节器的差别在于控制的不等式约束，且 。哈密顿函数 也是控制变量 的线性函数。若在控制区 上， 只存在有限个零值点，则是Bang-Bang控制。如果在某一控; 制区间 上满足 ，那么，控制变量在控制边界内取值总满足极小值原理。但是，由极小值原理同样很难解出最优控制的具体形式。考虑到上述线性二次型问题的最优控制一般情况下是由Bang-Bang控制和线性反馈控制两部分组成的。;所以，对于一般的Bolza问题：;其哈密顿函数为;条件(9-6)常称勒让德－克莱勃希条件(Legaudre-lebsch Condition)。若条 件(9-6)只取严格的不等式符号，则称 强化的勒让德－克莱勃希条件。; 如果在某一时间间隔 上，矩阵 是奇异的，即 ; 把奇异和线性二次型这两个概念结合在一起就得到了奇异线性二次型这个概念。一个奇异线性二次型问题的奇异性等价于性能指标中的被积函数 中矩阵 的奇异性。奇异线性二次型问题可以是直接提出的，也可以作为对一般的最优控制问题应用二次变分原理的结果而产生的。 ; 奇异二次型最优控制是一类常见的最优化奇 异解问题，该问题可以用数学语言描述如下： ;控制变量受如下不等式约束 ;哈密顿函数 为 的线性函数，即 根据极小值原理可知，在正常弧段上最优控制具有Bang-Bang形式，即 协态方程与边界条件为 的解。 ;若存在奇异解，则在奇异弧段上有下式成立， (9-14) 这时，控制满足极小值原理，但是，由极小值原理解不出最优控制的具体形式,需要用其它方法来计算奇异弧。 ; 假设在某区间 上存在奇异最优控制，则式(9-14)的关系在此区间上必然存在，进而必须满足 的各阶导数为零的附加条件，由此条件可以得到奇异最优控制。;实际上，上述问题的奇异弧段必满足 ;假设 是非奇异阵，否则，奇异控制不存在。解得 ;