《线性代数》第5章习题解答(r)new2_1.docVIP

习题五（P213－215） 写出下列二次型的矩阵： 解: （1）；（2）；（3）； （4） 。 2.若二次型对任意向量恒有,试证明:是零矩阵. 解: 取等三个向量代入则二次型的矩阵的所有元素从而有=0. 3.设是ｎ阶实对称矩阵，且对任意的ｎ维向量有成立，试证明： 证： 设则中的的系数中的系数为比较的系数知所以 4．试证明：不可能有实数矩阵使即与是不合同的. 证: 用反证法.若则推得这是不可能的.所以与是不合同的. 5. 设均为ｎ阶对称矩阵,且是合同的,是合同的,试证明:与也是合同的. 证: 设则 所以矩阵与矩阵是合同的. 6. 用正交变换法,把下列二次型化为标准形: 解: (1).正交变换矩阵为标准形为 (2) 正交变换矩阵为 标准形为 7. 用配方法,把下列二次型化为标准形: 解:(1).由已知，令则可逆线性变换矩阵为所以标准形为 (2).先令则再令则可逆线性变换矩阵为所以标准形为 8. 用初等变换法, 把下列二次型化为标准形: 解： ，令 则 (2).令 则 9．已知二次型通过正交替换化为标准形求参数及正交矩阵. 解: 给定二次型及其标准形的矩阵分别为： 由得（去舍），与特征值 对应的特征向量分别为 因特征向量是相互正交的，将它们单位化后得所求的正交巨阵 10．求二次型的标准形，并指出该二次型的秩和正惯性指数。 （*注：书上题目排版有误，掉了一个平方） 解: 由已知, 令则标准形为 所以该二次形的秩为,正惯性指数为 11. 已知对称矩阵求可逆矩阵使得。 解: 12. 试证明:一个实二次型的秩与符号差具有相同的奇偶性,且 证: 设二次型的正,负惯性指数分别为,则故 所以 具有相同的奇偶性. 13. 判别下列二次型的正定性: 解: (1). 二次型矩阵的顺序主子式： 所以二次型是正定的; (2). 二次型矩阵的顺序主子式：所以二次型是负定的. 14. 取何值时，下列二次型是正定的： 解: (1). 由知 (2). 由知 15. 试证下列结论成立: (1). 设是正定矩阵,矩阵与合同,则矩阵也是正定矩阵; (2). 实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵,使得 (3). 若是正定矩阵,则也是正定矩阵; (4). 设是矩阵,的秩则是正定矩阵. 证: (1). 存在可逆矩阵,使得令对任意矩阵必有,所以从而是正定矩阵. (2). 由定理4知,正定的充要条件是与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得 (3). 由上一小题知, 存在可逆矩阵,使得于是令则,由于是可逆的,所以是正定的. (4). 设,对任意矩阵因为故必有从而,即是正定的. 16. 试证明实二次型，，是正定二次型的必要条件是，。 证明：设是正定二次型，则对非零向量，有， ，即有结论成立。 17 求下列函数的极值: (1). (2). 解: (1). 得由驻点为,对点,海赛矩阵为对点,海赛矩阵为因是不定矩阵,故不是极值点, 因是负定矩阵,故是极大值点, 极大值为. (2). 由得由驻点为,点处的海赛矩阵是正定矩阵,故是极小值点,极小值为. 《线性代数》第五章习题解答 - 71 -