关于圆锥曲线的共同性质,统一定义和统一方程.docVIP

引 言 椭圆（圆），双曲线，抛物线等圆锥曲线是平面解析几何的主要内容。这三种曲线不但形状不同，而且各有独特的性质，但它们却存在着许多共同的性质。也就是说在一定条件下它们又是统一的，因此本论文中主要讨论它们的统一性质。 1. 圆锥曲线 椭圆（圆），双曲线，抛物线总称为圆锥曲线，也就是说椭圆（圆），双曲线，抛物线都是可以由平面截圆锥面得到的截线。即，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，得到的截面是一个圆。 如果改变平面与圆锥轴线的夹角会得到椭圆，双曲线，抛物线等图形。如图（1）所示。因此，它们总称为圆锥曲线。 除此之外，椭圆（圆），双曲线，抛物线的方程都是关于的二次方程，所以它们又称为二次曲线。 下面分别提出椭圆，双曲线，抛物线的定义。 1.1定义： 在平面上到两个定点的距离之和为一常数(大于两定点间的距离）的动点轨迹 叫做椭圆。这两个定点称椭圆的焦点，两焦点间的距离称焦距。 根据定义，我们求椭圆的方程。以过两焦点的直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系，如图（2）所示。 设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点的坐标分别是，又设到和的距离的和等于正常数，（）。椭圆就是集合按照距离公式，有 把方程的第一项移到右边后再平方，得到 或者 再把这个等式的两边平方，经过化简得 因为 等式两边再除以即得（），这就是焦点在轴上的椭圆的标准方程。焦点坐标为的椭圆。这里 如果椭圆的焦点在轴上，焦点坐标是（如图），只要把，互换，就可得到它的方程这就是焦点在y轴上的椭圆的标准方程。分别叫做椭圆的长半轴长，短半轴长和焦半矩。它们的关系是。椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率。 越接近1，则越接近于，从而越小，因此椭圆越扁，反之，越接近于，越接近于，越接近于，这时椭圆越接近于圆。 如果，则此时两焦点重合，椭圆的标准方程变为，就是的圆了。因此，圆可以看作椭圆的特殊情形。 1.2定义： 平面上到两定点的距离之差为一常数（小于两定点间的距离）的动点轨迹叫做双曲线，两定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 根据定义，我们求双曲线的方程。以过两焦点和的直线为轴，以线段的中点为原点，建立直角坐标系，如图（3）所示。 记焦距为，则在轴上的两焦点的坐标就是 设为双曲线上任一点，并设到和的距离之差为，，按定义双曲线就是集合 或 按照距离公式，有，通过移项，平方化简后得 因为 故 可令 得 ， 两边再除以，即得 ⑴ 这就是焦点在轴上的双曲线的标准方程。当焦点在轴上时，只要把方程⑴中的和互换就得到它的方程 如图(3)′所示； 这个方程就是焦点在轴上的双曲线的标准方程。分别叫做双曲线的实半轴长，虚半轴长和焦半距。它们之间的关系： ； 双曲线的焦距与实轴长之比，叫做双曲线的离心率。因为，所以双曲线的离心率 1.3定义： 平面上到一个定点与到一条定直线的距离相等的动点的轨迹叫做抛物线。点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，按定义求抛物线的方程。 假设给定抛物线的焦点和准线，选取由向所作的垂线为轴，取线段的中点为原点建立直角坐标系。 设的坐标为，到的距离，则的坐标为，如图(4)所示。所以 ； 又准线到点的距离为： 按定义有，即 经化简得， 若抛物线向上，向下，向左开口，则其对应的标准方程的形式也不同，即 方程 图 形 焦点 准线 抛物线上的一个点到它的焦点的距离与到准线的距离之比叫做抛物线的离心率，显然 2. 圆锥曲线的共同性质 如图(5)所示，垂直于椭圆的长轴且距中心为的两条直线称为椭圆的准线。准线方程为和是椭圆的右准线和左准线。 如图(6)所示，垂直双曲线的实轴且距中心为的两条直线称为双曲线的准线。准线方程（右准线）和（左准线）。 圆锥曲线的准线是讨论圆准曲线的共同性质的重要概念。椭圆和双曲线的准线意义，可以用下面的定理来更加说明。 2.1定理 设是从椭圆上任意一点到某焦点的距离，是从同一点到与此焦点在同一边的那条准线的距离，（如图所示），那么为一常数且等于椭圆的离心率，即证明：由于曲线本身的对称性，只讨论右焦点和右准线的关系。 设是椭圆上任一点，它到右准线的距离，点到右的距离 由方程得，代入上式化简得 由椭圆方程知，即因此这样，所以有于是设从双曲线上任意一点到某焦点的距离是从同一点到与此焦点在同一边的那条准线的距离，如图所示，那么为一常数，且此常数等于双曲线的离心率，即 证明：由于双曲线本身的对称性，只讨论右和准线的关系。 设是双曲线上任一点，它到右准线的距离，当点位于双曲线的右支时取“+”号，位于左支时取“—”号点到右焦点的距离 由方程得 代入上式并化简得 由方程知即因此 这就是意味着的符号与的一致。 因此有下面两种情形： （1）当时，（右分支） （2）当时，（左分支） 由（1）和（2）