第十一篇反常积分.pptVIP

* * * 第十一章反常积分 11.1 反常积分概念 11.2 无穷积分的收敛性质与判别 11.3 瑕积分的性质与收敛判别 11.1 反常积分概念 一、 引例 二、两类反常积分的定义 一. 引入 例： 0 x y 1 b 解：由于这个图形不是封闭的 曲边梯形,而在x轴的正方 向是开口的，即这时的积 分区间为[1，+∞）， 显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变， 则所求曲边梯形的面积为1 二、两类反常积分的定义. 定义1: 设函数 f (x)在区间[a, +?)上连续, 取b a, 如果极限 存在, 则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +?)上的无穷限反常积分, 记作 (1) 这时也称无穷积分 收敛; 若上述极限不存在, 就称无穷积分 发散, 这时记号 不再表示数值了。 例如： o y x b 1 类似地, 设函数 f (x)在区间(??, b]上连续, 取a b, 如果极限 存在, 则称此极限为函数 f (x)在无穷区间(??, b]上无穷积分, 记作 , (2) 这时也称无穷积分 收敛; 若上述极限不存在, 就称无穷积分 发散. 即 设函数 f (x)在区间(??, +?)上连续, 都收敛, 则称上述两无穷积分之和为函数 f (x)在区间(??, +?)上无穷积分.记作 ,即 (3) 这时, 也称无穷积分 收敛; 否则就称无穷积分 发散. 如果无穷积分 解： 注: 为方便起见, 把 a b o x y . 1 1 2 ò ￥ + ￥ - + x dx ：计算无穷积分 例 解: ). 0 , ( : 2 0 ò ￥ + - p p dt te pt 且 是常数 计算无穷积分 例 证: 当 p = 1时 当 p ? 1时 ). 0 ( : 3 ò ￥ + a x dx a p 证明无穷积分 例 ò ￥ + a p x dx 所以无穷积分 练习1.确定下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值. 解： 练习2：计算无穷积分 解(1): 练习4：求下列无穷积分： 定义2: 设函数 f (x)在区间(a, b]上连续, 而在点 a 的右邻域内无界, 取? 0.如果极限 存在, 则称此极限为无界函数 f (x)在(a, b]上的反常积分. (4) 这时也称反常积分 收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散. 类似地, 设函数 f (x)在区间[a, b)上连续, 而在点 b 的左邻域内无界, 取? 0. 存在,则定义 如果极限 (5) 否则, 就称反常积分 发散. 设函数 f (x)在区间[a, b]上除点c (a c b)外连续, 而在点 c 的邻域内无界, 如果两个广义积分 都收敛, 则定义 (6) 否则, 就称反常积分 发散. 所以, x=a为被积函数的无穷间断点. 于是: o y x a a?? 图5-7-1 ) 0 ( : 4 0 2 2 - ò a x a dx a 计算反常积分 例 且 由于 . : 5 1 1 2 ò - 的收敛性 讨论反常积分 例 x dx 当q 1时, 收敛; 当q ? 1时, 发散. 证: 当q = 1时 ) ( : 6 ò - b a q a x dx 证明反常积分 例 当q ? 1时, 因此, 当q 1时,反常积分 收敛, 其值为 当q ? 1时, 广义积分 发散. 例7 计算反常积分 解 故原反常积分发散. 例8. 解: 被积函数 f在(0,1] 上连续,x = 0 是瑕点.由于. 瑕点 解 例9 计算反常积分