弹性力学吴福飞2.docVIP

弹塑性力学作业 姓名：吴福飞 学号：1038020090  弹塑性力学在混凝土中的运用 绝大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质有关，混凝土也不例外。特别是在塑性变形阶段，变形中即有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形；研究那些变形的力学我们称之为弹塑性力学。 弹塑性力学是一门技术基础课程，它是以理论力学、材料力学、高等数学、数理方程等课程为基础，较系统地介绍弹性力学和塑性力学的基本概念、基本理论和基本方法，为进一步学习后续课程（如有限单元法等）打下理论基础。 1 应力状态理论 从静力学观点出发、分析一点的应力状态，建立平衡微分方程和静力边界条件。由于这里不涉及物体的材料性质和表形情况，所有应力状态理论适用于任何连续介质。 1.1 应力和一点的应力状态 一个在外界因素作用下的物体将产生内力和变形。用以描述物体中任何部位的内力和变形特征的力学量是应力和应变。 1.2 主应力和应力不变量 当坐标系转动时，受力物体内任一确定点的九个应力分量将随着改变。在坐标系不断转动的过程中，必然能找到一个坐标系，使得该点在该坐标系中只有正应力分量，而剪应力分量为零。也就是说，对于任一确定的点，总能找到三个互相垂直的微分面，其上只有正应力而武剪应力。我们把这样的微分面称为主微分平面，简称为主平面，其法线方向称为应力主 方向，而其上的应力称为主应力。 2 应变状态理论 从运动学观点出发，分析一点的应变状态，建立几何方程和应变协调方程。由于这里不涉及到产生变形的原因和物体的物理性能，则应变状态理论适用于任何连续介质。 2.1 位移和应变 在外部因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。如果物体内各点发生位移后任保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸形；物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。 3 描述物体位移的方法 3.1拉格朗日法 当采用拉格朗日法描述物体位移时，物体变形后的位置是的函数： ，即 则位移场也是的函数（下图），由上式可得： 3.2 欧拉法 当采用欧拉法描述物体位移时，物体变形前的位置是的函数： ，即 则位移场也是的函数，有上式可得： 在固体力学中，我们常采用拉格朗日法描述；在流体力学中采用欧拉法描述更为方便；而对大变形问题及一般的物理定律，采用拉格朗日坐标来建立它的数学表达式更为方便，但在求解具体问题时，又常以欧拉法描述更为方便，所以两种描述方法都要采用。 4 应变率张量和应变增量张量 当介质处在运动状态时，以=（）表示质点的速度，表示速度的三个分量。如果以时间作为起点，则经过无限小时间段后，位移为，由于很小，因此及其对坐标的导数都很小，可以应用小变形公式： 若令，则有： 上式定义的不论其是大量或小量均成立，但要求对每一个瞬时状态进行计算，不是按初始位置计算。而是从初始位置计算的，因此，一般情况下: 5 应变协调方程 对于某一初始连续的物体，按某一应变状态变形后必须保持其连续性，即物体既不开裂，又不重叠，此时所给定的应变状态是协调的，否则是不协调的。从数学的观点说，要求位移函数在其定义域内为单值连续函数。若出现了开裂，位移函数就会出现间断；出现了重叠，位移函数就不可能出现单值。因此，为保持物体变形后连续性，各应变分量之间，必须有一定的关系。 另一方面，在小变形情况下的六个应变分量是通过六个几何方程与三个位移函数相联系的。 应当指出，如能正确地求出物体各点的位移函数，然后根据几何方程求出各应变分量，则应变协调方程可自然满足。因为应变协调方程本身是从应变位移方程推导出来的。而从物理意义上来说，如果位移函数是连续的，变形也就自然可以协调。所以，以后用位移法解题时，应变协调方程可以自然满足，而用应力法解题时，则需同时考虑应变协调方程。 6 弹性本构方程 弹性是众多材料所具有的共同力学性质，在应力不大的情况下，大多数材料都呈现弹性性质。这是材料力学性质的一种理想模型。本小节简要介绍弹性固体的本构方程。 6.1 柯西弹性和超弹性 所谓柯西弹性是指材料的现时应力唯一定于现时应变的力学性质，在小变形情况下，柯西弹性材料的本构方程可写成： 或 于是有： 或 上式中的符号“：“表示两张量的并双点积。定义： 称为弹性系数，它们是四阶张量的分量；这个四阶张量称为弹性张量。其中，因此弹性张量共有81个分量，亦即柯西弹性材料共有81个弹性系数。由于应力张量和应变张量都是对称，从而分别对及是对称的，即有： 因此柯西弹性材料只有36个独立的弹性系数。当为常数时，材料是线性弹性的，此时有： 此处假定时，即材料存在自然状态。 6.2 有