不等式恒成立问题(教师版)..docVIP

不等式恒成立问题 解不等式恒成立问题常用的方法有： （1）最值法：不等式（为常数）恒成立； 不等式（为常数）恒成立． （2）数形结合法：不等式在上恒成立当时，的图象在的图象的上方； （3）分离参数法（实质上是最值法）：若不等式（或）恒成立，且不等式中含有参数，可先把含参数的式子分离出来，即把不等式转化为或，然后用最值法求解； （4）判别式法（实质上是最值法）：对于二次不等式在上恒成立适用． 二次不等式在上恒成立； 二次不等式在上恒成立． 1．一次不等式在给定范围上恒成立问题 求解方法：数形结合法 设，不等式在上恒成立； 不等式在上恒成立． 例1．当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 解：数形结合法 设，则函数在上的图象为一条线段，由题意，该线段在轴上方，因此只须要该线段的两个端点在轴上方， ∴，即，解得． 例2．已知不等式对一切都成立，求的取值范围． 分析：条件是当时不等式恒成立，因此不等式中的应看作是变量，看作是参数，故不等式为关于的一次不等式． 解：数形结合法 ， 设，当时，不等式恒成立，则有 或． 2．二次不等式恒成立问题 （1）二次不等式在上恒成立问题 求解方法：判别式法 二次不等式在上恒成立； 二次不等式在上恒成立． 例3．对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 解法一：判别式法 当时，不等式为，此不等式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等恒成立，则须，解得， 综上所述，原不等式恒成立时，实数的取值范围是． 解法二：最值法 设，当时，恒成立，符合题意； 当时，为二次函数，其图象开口向下，函数值可取负值，不符合题意，故． 当时，，所以恒成立，则须，即，∴，又，∴， 综上所述，原不等式恒成立时，实数的取值范围是． （2）二次不等式在给定范围上恒成立问题 求解方法：最值法、分离参数法 【最值法】设． ①当时，不等式在区间上恒成立 或或． ②当时，不等式在区间上恒成立． ③当时，不等式在区间上恒成立． ④当时，不等式在区间上恒成立 或或． 说明：若二次不等式的二次项系数为负数时，可以通过在不等式的两边同时乘以（注意不等号方向要改变），把二次项系数化为正数来求解，即情形③和④可以转化为情形①或②求解． 【分离参数法】若不等式（或）恒成立，且不等式中含有参数，可先把含参数的式子分离出来，即把不等式转化为或，然后用最值法求解． 例4．当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 解法一：最值法 设，的图象的对称轴为，依题意有 或或 或或． 解法二：分离参数法 由，得，当时，， ∴，当时，函数的最小值为，∴， 所以原不等式恒成立时，实数的取值范围是． 例5．当≤≤时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 解：最值法 设，函数的图象的对称轴为． 由题意，有 ①或②或③， 解①得，解②得，解③得， ∴的取值范围是． [评析]若此题用分离参数法，则需要用求根公式分离参数，显然解法较繁琐，因此此题不适合用分离参数法，故考虑用最值法． 例6．若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 解：最值法 设，则当时，函数的图象在轴下方，结合图象可知，，即，解之得． [评析]由，得．当时，，若用分离参数，则需分，和三种情况讨论，解法较复杂，故此题不适合用分离参数法． 不等式恒成立问题 第 4 页 （共 4 页）