有限元 计算结构力学 大作业.docxVIP

SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY平面应力问题解的Matlab实现姓 名: heiya168学 号: 帆哥班 级：指导老师：绪论有限元方法(finite element method)，是求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。将它用于在科学研究中，可成为探究物质客观规律的先进手段。将它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。弹性体在载荷作用下，其基本方程可写成以下的三类方程和两种边界条件。平衡方程——应力与外载荷的关系；几何方程——应变位移关系；物理方程——应力应变关系；力的边界条件；几何边界条件。应用最小位能原理，并利用上述关系，最终建立由刚度方程，节点位移和等效节点载荷所构成的求解方程。带入边界条件求解方程，就可以得出弹性力学问题的一般性解答。本次大作业基于有限元方法的基本原理，使用Matlab这一平台，针对平面应力问题，采用四节点四边形单元编写了求解单元节点位移的程序。主要内容包括：1）介绍有限元的基本原理；2）编程基本思路及流程介绍；3）程序原理及说明； 4）具体算例 这四个部分。平面问题的四节点四边形单元单元的构造单元的几何和节点描述平面4节点矩形单元如图4-6所示，单元的节点位移共有8个自由度。节点的编号为1、2、3、4，各自的位置坐标为(xi, yi), i=1,2,3,4，各个节点的位移(分别沿x方向和y方向)为(ui,vi), i=1,2,3,4。图2.1平面4节点矩形单元若采用无量纲坐标（2.1）则单元4个节点的几何位置为（2.2）将所有节点上的位移组成一个列阵，记作；同样，将所有节点上的各个力也组成一个列阵，记作，那么（2.3）若该单元承受分布外载，可以将其等效到节点上，也可以表示为如式(2.3)所示的节点力。利用函数插值、几何方程、物理方程以及势能计算公式，可以将单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示；下面进行具体的推导。单元位移场的表达从图2-1可以看出，节点条件共有8个，即x方向4个，y方向4个，因此，x和y方向的位移场可以各有4个待定系数，即取以下多项式作为单元的位移场模式（2.4）它们是具有完全一次项的非完全二次项，以上两式中右端的第四项是考虑到x方向和y方向的对称性而取的，除此外xy项还有个重要特点，就是“双线性”，当x或y不变时，沿y或x方向位移函数呈线性变化，这与前面的线性项最为相容，而或项是二次曲线变化的。因此，未选或项。由节点条件，在x=xi，y=yi处，有（2.5）将式(2.5)代入式(2.4)中，可以求解出待定系数a0，…，a3和b0，…，b3，然后代回式(4-52)中，经整理后有（2.6）其中（2.7）如以无量纲坐标系(2.1)来表达，式(2.7)可以写成（2.8）将式(2.6)写成矩阵形式，有（2.9）其中，为该单元的形状函数矩阵。单元应变场的表达由弹性力学平面问题的几何方程(矩阵形式)，有单元应变的表达（2.10）其中几何矩阵B(x,y)为=（2.11）式(4-59)中的子矩阵为（2.12）单元应力场的表达由弹性力学中平面问题的物理方程，可得到单元的应力表达式（2.13）单元应力场的表达以上已将单元的三大基本变量用基于节点位移列阵来进行表达，见式(2.9)、式(2.10)及式(2.13)；将其代入单元的势能表达式中，有（2.14）其中是4节点矩形单元的刚度矩阵。将单元的势能对节点位移取一阶极值，可得到单元的刚度方程（2.15）等参变换由前面的单元构造过程可以看出，一个单元的关键就是计算它的刚度矩阵，而由刚度矩阵的构成可知要实现两个坐标系中单元刚度矩阵的变换，必须计算两个坐标系之间的三种映射关系：坐标映射（2.16）偏导数映射（2.17）面积映射（2.18）图2.2矩形单元映射为任意四边形单元（1）两个坐标系之间的函数映射设如图4-17所示的两个坐标系的坐标映射关系为（2.19）x和y方向上可以分别写出各包含有4个待定系数的多项式，即（2.20）其中待定系数a0，…，a3和b0，…，b3可由节点映射条件(2.19)来唯一确定。对照前面4节点矩形单元的单元位移函数式(2.5)，映射函数式(2.20)具有完全相同的形式，同样，将求出的待定系数再代回式(2.20)中，重写该式为（2.21）其中（2.22）（2.23）这就可以实现两个坐标系间的映射。（2）两个坐标系之间的偏导数映射对物理坐标系(x,y)中的任意一个函数Φ(x,y)，求它的偏导数，有（2.24）则偏导数的变换关系为（2.25）写成矩阵形式，有（2.26）其中（2.27）两个坐标系的偏导数映射关系（2.28）（3）两个坐标系之间的面积元映射如图2-2所示，在物理坐标系(x, y)中，由dξ和dη所围成的微小平行