无穷级数习题及答案(二).ppt

习题答案(二)(20) 3. 解: 2. 设a 为常数,则级数 证明 由级数收敛的必要条件知 八. 用级数表示循环小数 * 第十一章无穷级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 总习题十一 一般项趋于零是级数收敛的必要条件而不是充分 则 ( ). 收敛. 解: 一.判断下列命题的对错: 1. 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 条件, 例如 满足 但 发散. 应填: 错. 错 2. 若当 n 足够大以后 则 发散. ( ). 解: 因为 若当 n 足够大以后 则有: 所以 发散. 应填: 对. 对 3. 若 发散, 则有: ( ). 解: 是级数发散的充分条件, 而不是必要条件. 错 发散, 收敛, 发散, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 则 2. 收敛的充分必要条件为____________________. 例如 但其一般项满足 4.若 ( ). 发散. 此命题可用反证法证明. 应填:对. 对 二.填空题 1.级数 的和为_______. 解: 应填: 应填:错. 因为 所以 令 则 解: 为级数 当α____时收敛, 由比较审敛法知当 解: 时, 的部分和, 时 收敛, 4. 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 若 则 当α____时发散. 当 若 收敛, 因此 收敛. 应填:收敛. 收敛 一个级数若不发散就收敛, 时 取 则 发散. 发散. 因此当 收敛. 的敛散性是_____. 发散. 而 二.选择题 1. 若 5. 已知 即有 则 发散, 解: 则正项级数 由比较审 收敛, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 应填:发散. 发散 (A) 发散; (B) 条件收敛; (C) 绝对收敛; (D) 敛散性不定. 由于 收敛, 而 由比较审敛法知 收敛, 从而 绝对收敛. 应选(C). C 敛法的极限形式知 解: (A) 发散; (D) 敛散性与a 有关. (B) 条件收敛; (C) 绝对收敛; 故应选(C). 收敛, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于 从而 由比较审敛法知 收敛. C 绝对收敛. 3. 设 b 是大于零的常数,则级数 (A) 发散; (B) 当b≥1时发散,当b1时收敛; (C) 收敛; (D) 当b≥1时收敛,当b1时发散. 为交错级数, 由于 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 而 根据莱布尼兹审敛法知此交错级数 四.若正项级数 应选(C). 证: 收敛, 也收敛. 试证明 因正项级数 收敛, 由级数收敛的必要条件有 由数列极限的定义, 对于给定的正数ε=1, 存在正整数N, 当n N 时, 有 即有 显然有 已知 收敛, 根据比较审敛法知 收敛. 加上有限项 仍收敛, 收敛, 所以 这级数前面 收敛. 证毕. 都收敛, 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 也收敛 . 五. 设 证: 已知 即有 都收敛, 由于 故正项级数 收敛. 由正项级数的比较审敛法知 也收敛. 根据收敛级数的性质知 收敛. 证毕. 六. 证明 证: 收敛. 七. 确定常数 a 与b 的值, 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕. 并利用所得结果求 解: 令 比较系数得方程组: 解得 因此有 于是 解: 再将此级数之和表示 级数的一般项, 的前n 项部分和为 为分数. 九. 已知级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 试写出该 并求其和. 解: 的收敛域. 级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 十. 试确定级数 时, 发散 . 当 收敛. 当 时, 级数 级数 收敛域为 级数 收敛域同样为 解: 十一. 试确定级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 的收敛域. 所给级数的收敛域为 十二. 设 的收敛域. 求 解: 当 当 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时, 当 当 时, 级数为 时, 级数为 收敛. 发散. 收敛域为: 发散. 也发散. 所以 十三. 求 的收敛区间及和函数. 解: 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ∴收敛区间为 上式两边积分: 上式两边求导: 所以有: 十四. 不具体写出幂级数的展开式, 直接确定 展开成形如 的幂级数的收敛区间. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 所展幂级