无穷小量及其应用.docVIP

本科毕业论文（设计） ( 2013届 ) 题 目： 无穷小量及其应用 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 学生姓名： 常晓晓 学号： 20905012002 指导教师： 李玲 职称（学位）： 合作导师： 职称（学位）： 完成时间： 2013年5月日摘要 1 英文摘要 2 1 引言 3 2 无穷小量的定义 3 3 无穷小量阶的比较 3 4 无穷小量的应用 4 4.1 利用无穷小量求极限 4 4.1.1 利用无穷小量的性质求极限 4 4.1.2 利用无穷小量与无穷大量的关系求极限 5 4.1.3 利用等价无穷小量作替换 6 4.1.4 利用无穷小量与函数极限的关系求极限 11 4.2 判别级数的敛散性 12 4.3 判别反常积分的敛散性 13 4.4 无穷小量在近似计算中的应用 15 4.5 求某些数项级数的和与幂级数的和函数 16 结束语 17 参考文献 19 致谢 20 无穷小量及其应用 数学与统计学院 数学与应用数学专业 常晓晓（20905012002） 指导老师：李玲（讲师） 摘要：无穷小量是微积分中的非常重要的概念，它有着诸多良好的性质.微积分中的好多概念中处处都有无穷小量的身影.本文主要阐述了无穷小量在微积分当中的一些具体应用，例如，利用无穷小量求极限、判别级数和反常积分的敛散性、作近似计算、求某些数项级数的和与幂级数的和函数等等. 关键词：无穷小量；等价无穷小量；极限；级数 Functions of the Infinitesimal Chang Xiaoxiao Director：Li Ling （Department of Mathematics and Statistics, Huangshan University, 245041, China） Abstract：Infinitesimal is a quite important conception in calculus. Infinitesimal itself has much good nature. Many concepts in calculus have infinitesimal’s figure everywhere. This dissertation mainly expounds the functions of the infinitesimal in calculus, such as pleasing limit by the infinitesimal, discriminating the convergence and divergence of several series and abnormal integral, for approximate calculation, pleasing the summation of some number items series and power series and so on. Key Words：infinitesimal；equivalent infinitesimal；limit；series 1 引言 曾在古希腊时期，阿基米德就利用过无限小量的相关知识，不过他觉得这么做还有些不合理. 在17世纪的下半叶，牛顿和莱布尼茨分别依据前人所做的各种工作，并且通过各自的不懈努力，两人均创立了微积分.而无穷小量就是他们创立微积分的重要基础，对微积分的发展起了非常重要的作用.因此，在早期，我们也将分析学称为无穷小分析.但因为那时的一些理论还不够严格，所以无穷小量还不能够用常量代数理论来解释、分析和演算.从此，无穷小量就成了既简单好用又说不清的一个概念. 直至19 世纪20 年代, 柯西才在他的《分析教程》中阐述了严格的无穷小量的的定义. 2 无穷小量的定义 定义1：设在当某邻域内有定义，如果， 那么称为当时的无穷小量. 同样地，我们可以定义当，，，和当 时的无穷小量的定义. 3 无穷小量阶的比较 设当时，与均为无穷小量. （1）如果，那么称为当时的高阶无穷小量，或称为当时的低阶无穷小量，记作.这说