控制工程根轨迹法详解教程.ppt

第四章 根轨迹法 本章主要介绍：根轨迹概念、根轨迹绘制和根轨迹应用。 4-1 根轨迹法的基本概念 4-1-1根轨迹概念 开环传递函数中的某一参数从零变化到无穷时， 闭环系统特征方程的根在S平面上变化的轨迹。 研究下述系统： 系统特征方程： 特征根为： 根轨迹 4-1-2 根轨迹与系统性能 1）稳定性 因当K从0变化到无穷时，闭环根均在S左 半平面，所以系统稳定。 2）动态性能 当0K0.5时，闭环根为实根，系统为过阻尼。 当K=0.5时，系统临界阻尼，闭环根为重根。 当K0.5后，闭环根为复根，系统为欠阻尼。 3）静态性能 在原点有一开环极点，说明系统为1型。K为静态速度误差系数。在 单位斜坡信号作用下的稳态误差为： 通过上述系统分析，可见根轨迹图与系统性能有着密切的联系。 4-1-3 根轨迹方程 1、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 考虑单位反馈系统，即： 闭环传递函数： 式中： 则： 分析闭环和开环零、极点的关系： 1）闭环极点由 确定。 2）闭环零点=开环零点。 3）闭环增益=开环增益。 对单位反馈系统，上述三个特点为确定闭环传递函数提供了基础。非 根轨迹法 单位反馈不具有上述特点。 2、根轨迹方程 由闭环特征方程： 得： 根轨迹方程 开环增益 根轨迹增益 模值方程： 相角方程： 根轨迹必须满足这两个方程。 举例：设单位反馈系统开环传递函数为： 写出根轨迹方程。 解： 因： 相角方程： 模值方程： 设： 代入方程 验证： 是否为特征根。 4-2 绘制根轨迹的一般方法 根轨迹法是一种图解方法，它从开环系统出发找到闭环根的轨迹， 基于闭环根的分布可以估算系统的性能，即一种工程图解法。 1、常规根轨迹（以增益K为参变量） 法则1：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。 如前例开环传递函数： 起点 终点 终点 开环零点：有限零点和无限零点。等于开环 极点数。 法则2：根轨迹分支数等于开环极点数n ，根 轨迹是连续的并对称于实轴。 法则3：实轴上的根轨迹。 在实轴某区域，若其右侧开环零、极点 个数和为奇数，则该区域为根轨迹。 法则4：根轨迹的渐近线。当nm时，有n-m条渐进线。根轨迹沿 渐进线趋向无限零点。渐进线与实轴的交点和交角如下。 渐进线的交点： 渐进线的交角： 法则5：根轨迹的分离点。两条以上根轨迹 在S平面相遇又分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点d可 求下述方程的解： 分离点d 如图分离点计算： 分离角：根轨迹进入分离点的切线与离开分离点切线之间的夹交。 由： 确定。 分离角 例4-1、已知单位反馈系统的开环传递函数为： ，试绘制系统根轨迹。 解： 应用上述的根轨迹绘制法则： 1）开环零、极点 2）实轴上的根轨迹 3）渐进线 4）分离点 （不在根轨迹上，不是） 法则6：根轨迹的起始角和终止角。 起始角 终止角 起始角： 终止角： 上述计算公式看似复杂，但很容易由相角方程获得。 法则7：根轨迹与虚轴的交点（根轨迹穿过虚轴）。 求法：1）劳斯判据（全零行），求得： 2）在闭环特征方程中，令： ，然后由实部 和虚部为0，求得： 例4-1中： 虚轴交点 特征方程： 也可以令 代入特征方程，得： 例4-2、已知单位反馈系统开环传递函数为： 要求： 1、绘制闭环根轨迹（确定分离点、与虚轴的交点）； 2、判定系统的稳定的K值范围； 3、确定系统临界稳定时的闭环传递函数。 虚轴交点 解： 1、根轨迹 1）开环零、极点图 2）实轴上根轨迹(-3,-1),(0,1)区间 3）渐进线 4）分离点 试探得： 5）虚轴交点 由劳斯判据： 2、系统稳定K值： 3、 因 可得： 课堂练习：教材P.116的4-3。 1） 2） 3） 2、参数根轨迹（除K外的其它参数） 参数根轨迹即开环传递函数中除K外的其它参数变化的根轨迹。 考察系统： 开环传递函数为 闭环特征方程： 1）以K为参数绘制的闭环根轨迹称为常规根轨迹； 2）以K以外参数 绘制的根轨迹称为参数根轨迹。 1、等效开环传递函数 以例说明： 设单位反馈系统开环传递函数： 试绘制：1） K为参数 2） 为参数 时的根轨迹。 解： 1） 开环传递函数为 根轨迹如图所示。 2） 闭环特征方程为： 等效开环传递函数： 根轨迹如图所示。 在系统同一特征方程下，根据需要，由除K以外 的参数置于K位置导出的传递函数称为等效开环传递函数。 根轨迹绘制小结： 1、根轨迹 闭环根随开环传递函数中某参数变化在S平面上 变化的轨迹。根轨迹上的点满足根轨迹方程。 2、常规根轨迹和参数根轨迹 常规根轨迹 开环增益K变化时的根轨迹 参数根轨迹 非K外的其他参数变化时的根轨迹 常规根轨迹和参数根轨迹的绘制法则是相同的。 课堂练习：教材P117，4-5，4-6。 4-5： 1） 4-6： 1） 4-3 根轨迹法的系统设计 4-