弹性力学接触问题.pptVIP

* * 两弹性体之间的接触压力问题 两球体的接触问题 圆球与平面（或凹球面）的接触 例题 接 触 问 题 根据半空间体在边界上受法向分布力中有关知识，可导出两弹性体之间的接触压力以及由此所引起的应力和变形，下面我们先对两弹性球体进行讨论。 设两个球体半径分别为R1和R2,如图。 一.两球体的接触问题 设开始时两球体不受压力作用，它仅接触于一点O，那么此时，在两球体表面上取距公共法线距离为r的M1和M2两点，与O点的切平面之间的距离z1和z2. 则由几何关系有： (R1－z1)2+r2=R12 (R2－z2)2+r2=R22 得 （a） 当M1,M2离O点很近时，则z1＜＜R1, z2＜＜R2，上面两式可化为： 而M1、M2两点之间的距离为： 当两球体沿接触点的公共法线用力F 相压时，在接触点的附近，将产生局部变形而形成一个圆形的接触面。由于接触面边界的半径总是远小于R1、R2，所以可以采用关于半无限体的结果来讨论这种局部变形。 现分别用w1和w2表示M1点沿z1方向的位移及M2点沿z2方向的位移（即相外的相对移动）； α－(w1+w2)=z1+z2 设α为圆心O1、O2因压缩而相互接近的距离，如果M1与O1、M2与O2之间无相对移动则M1与M2、之间接近的距离也为α； 于是M1点和M2点之间的距离减少为α－(w1+w2)，如果点M1、M2由于局部变形而成为接触面内的同一点M，则由几何关系有： 将式（a）代入，得 w1+w2=α－βr2 (b) 其中， （c） 根据对称性接触面一定是以接触点O为中心的圆。现以图中的圆表示接触面，而M点表示下面的球体在接触面上的一点（即变形以前的点M1），则按照弹性半空间受垂直压力q的解答，该点的位移为： 其中ν1及E1为下面球体的弹性常数，而积分应包括整个接触面。对于上面的球体，也可以写出相似的表达式，于是： （d） 其中 并由（d）式及(c)式得 （e） 到此，把问题归结为去寻求未知函数q（即要找出压力的分布规律），使式（e）得到满足。 根据Hertz的假设，如果在接触面的边界上作半圆球面，而用它在各个点的高度代表压力q各该点处的大小。 例如弦mn上一点压力的大小，可用过mn所作半圆的高度h来代表。 接触圆内任一点的压力，应等于半球面在该点的高度h和k=q0/a的乘积。由此，不难从图可以看出， 令q0表示接触圆中心O的压力，则根据上述假定，应有 q0=ka 由此得： k= q0/a k这个常数因子表示压力分布的比例尺。 A为弦mn上的半圆（用虚线表示）面的面积，即 ψ 由于 代入后再代入式（e） 积分后得： ， dψ ψ θ 有 要使此式对所有的r都成立，等号两边的常数项和r2的系数分别相等，于是有 这样，只要式（g）成立，Hertz所假定的接触面上压力分布是正确的。根据平衡条件，上述半球体的体积与的乘积应等于总压力F，即 (g) 由此的最大压力 （h） 它等于平均压力F/πa2的一倍半。 将式（c）和式（h）代入式（g），求解a及α 即得： 由此并可求得最大接触压力为； 在E1=E2=E及ν1= ν 2=0.3时，由上列各式得出工程实践中广泛采用的公式： 在求出接触面间的压力之后，可利用按照弹性半空间受垂直压力q的解答导出的公式计算出两球体中的应力。 最大压应力发生在接触面中心，值为q0； 最大剪应力发生在公共法线上距接触中心约为0.47a 处，其值为0.31 q0； 最大拉应力发生在接触面的边界上，其值为0.133 q0。 二.圆球与平面（或凹球面）的接触 利用上面关于两弹性球体接触时的有关结论，可得如下公式： 当圆球与平面接触时，将以上结果中的R1=R0,R2→∞则得： F 在E1=E2=E及ν1= ν 2=0.3时， F * * * * *