21讲：Euler法和改进Euler法课件.pptVIP

第八章 常微分方程数值解法; 常微分方程主要有: (1)变量可分离的方程 (2)一阶线性微分方程(贝努利方程) (3)可降阶的一类高阶方程 (4)二阶常系数齐次微分方程 (5)二阶常系数非齐次微分方程 (6)全微分方程;主要内容： 一、 引 言 二、 建立数值解法的常用方法 三、 Euler方法 四、 几何意义 五、 Euler方法的误差估计 六、 向后Euler方法; 许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的定解问题,如物体运动,电路震荡,化学反映及生物群体的变化等. 能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多,而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程的数值解法;本章重点;初值问题数值解的提法;建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.;(2) 用数值积分近似积分;(3) 用Taylor多项式近似并可估计误差;用差商近似导数;令;例1;用求根公式求解初值问题;Clear[a,b,x,y] x[0]=0; y[0]=1; h=0.1; x[n_]:=n*h; f[u_,v_]:=v-2u/v K1[n_]:=f[x[n-1],y[n-1]] y[n_]:=y[n-1]+h*K1[n]; Table[{x[n],y[n]},{n,0,8}]//N; MatrixForm[%];近似解;例2;用求根公式求解初值问题;Clear[a,b,x,y] x[0]=0; y[0]=1;h=0.1; x[n_]:=n*h; f[u_,v_]:=(2/3)u/v^2; K1[n_]:=f[x[n-1],y[n-1]] y[n_]:=y[n-1]+h*K1[n]; Table[{x[n],y[n]},{n,0,6}]//N; MatrixForm[%]; 四、几何意义;Y=y(x);四、Euler方法的误差估计;取一次Taylor多项式近似函数，得 ;结论：上式说明Euler公式的局部截断误差为;定义8.1 如果某种数值方法的局部截断误差为; 五、Euler方法的误差估计;我们更关心整体截断误差，但其讨论要用到局部截断误差。;2、 整体截断误差;截断误差;Euler方法是一阶方法,故精度不高.;需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得 到不同的计算公式。如果用向后差商代替导数， 即; 向后Euler法与Euler法形式上相似，但实际 计算时却复杂得多。Euler公式是显式的，可直接 求解。向后Euler公式是隐式公式，一般要用迭代 法求解，迭代公式通常为 ; 六、向后Euler方法;主要内容： 1:引 言 2:建立数值解法的常用方法 3: Euler方法 4:几何意义 5: Euler方法的误差估计 6:向后Euler方法; 第 二 节;利用数值积分将微分方程离散化得梯形公式:;梯形公式比欧拉法精度高一些,但计算量较大;改进的Euler方法;二、改进的Euler法;即 ;为便于上机编程，常改写成;例3;（2）用改进的Euler方法得算式为 ;数值结果见下表： ;Mathematia程序;Mathematia程序;比较;作业：1 用欧拉预-校方法求解初值问题 ;2 解常微分方程的初值问题 ;利用数值积分将微分方程离散化得梯形公式:;梯形公式比欧拉法精度高一些,但计算量较大;改进的Euler方法;Clear[x,y,h] x[0]=0; y[0]=1; h=0.2; x[n_]:=n*h; f[u_,v_]:=f[u,v]; K1[n_]:=f[x[n-1],y[n-1]] K2[n_]:=f[x[n-1]+h,y[n-1]+h*K1[n]]; y[n_]:=y[n-1]+h/2*(K1[n]+K2[n]); Table[{x[n],y[n]},{n,0,4}]//N; MatrixForm[%];例3;用求根公式求解初值问题;Clear[x,y,h] x[0]=0; y[0]=1; h=0.2; x[n_]:=n*h; f[u_,v_]:=v-2u/v K1[n_]:=f[x[n-1],y[n-1]] K2[n_]:=f[x[n-1]+h,y[n-1]+h*K1[n]]; y[n_]:=y[n-1]+h/2*(K1[n]+K2[n]); Table[{x[n],y[n]},{n,0,6}]//N; MatrixForm[%];Euler近似解