18路和回路课件.pptVIP

7-2 路与回路 ;学习本节要熟悉如下术语(22个)：;一、路;例如 路：v1e2v3e3v2e3v3e4v2e6v5e7v3 迹：v5e8v4e5v2e6v5e7v3e4v2 通路：v4e8v5e6v2e1v1e2v3 圈：v2e1v1e2v3e7v5e6v2; 在简单图中一条路v0e1v1e2…envn，由它的结点序列v0，v1，…，vn确定，所以简单图的路，可由其结点序列表示。在有向图中，结点数大于一的—条路亦可由边序列e1e2…en表示。; 定理7-2.1 在一个具有n个结点的图中，如果从结点vj到结点vk存在一条路，则从结点vj到结点vk必存在一条不多于n-1条边的路。; 定理7-2.1的证明 如果从结点vj到vk存在一条路，该路上的结点序列是vj…vi…vk，如果在这条中有l条边，则序列中必有 l+1个结点，若ln-1，则必有结点vs，它在序列中不止出现一次，即必有结点序列vj…vs…vs…vk，在路中去掉从vs到vs的这些边，仍是vj到vk的一条路，但此路比原来的路边数要少，如此重复进行下去，必可得到一条从vj到vk的不多于n-1条边的路。 ;如在图7-2.1中有5个结点。 v1到v3的一条路为：v1e2v3e3v2e3v3e4v2e6v5e7v3 此路中有6条边，去掉e3有路 v1e2v3e4v2e6v5e7v3 有4条边。 v1到v3最短的路为v1e2v3;二、无向图的连通性： 1、连通;;2、连通图 定义7-2.3：若图G只有一个连通分支，则称G是连通图。 显然在连通图中，任意两个结点之间必是连通的。; 对于连通图，常常由于删除了图中的点或边，而影响了图的连通性。 删除结点：所谓在图中删除结点v，即是把v以及与v关联的边都删除。 删除边：所谓在图中删除某条边，即是把该边删除。 ;3、割点 定义7-2.4 设无向图G =V,E是连通图,若有结点集V1?V,使图G中删除了V1的所有结点后,所得到的子图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所得到的子图仍是连通图,则称V1是G的一个点割集(cut-set of nodes) 。若某一个点构成一个点割集，则称该点为割点。; 点连通度：是为了产生一个不连通图需要删去的点的最少数目，也称为连通度，记为k(G) 。 即k(G)=min{|V1|| 是G的点割集} 称为图G的点连通度(node-connectivity) 。 (1)若G是平凡图则V1=?，k(G)=0 (2)k(Kn)=n-1 (3)若图存在割点，则k(G)=1 (4)规定非连通图的连通度k(G)=0;4、割边 定义7-2.5 设无向图G =V,E是连通图,若有边集E1?E，使图 G中删除了E1的所有边后，所得到的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得到的子图仍是连通图，则称E1是G的一个边割集(cut-set of edges) 。若某一条边就构成一个边割集，则称该边为割边或桥。 割边e使图G满足W(G-e)W(G) 。; 边连通度(edge-connectivity) ? (G)定义：非平凡图的边连通度为 ? (G)=min{ |E1| | E1是G的边割集} 边连通度? (G)是为了产生一个不连通图需要删去的边的最少数目。 (1)若G是平凡图则E1=?，??(G)=0 (2)若G存在割边，则?(G)=1， (3)规定非连通图的边连通度为?(G)=0 ;5、定理7-2.2 对于任何一个图G,有k(G)≤?(G)≤δ(G) 。;证明： 若G不连通，则k(G)=?(G)=0，故上式成立。 若G连通，可分两步证明上式也成立： 1)先证明?(G)≤?(G)： 如果G是平凡图，则?(G)=0≤?(G)， 若G是非平凡图，则因每一结点的所有关联边必含一个边割集，(因?(G)=min{deg(v)|v?V}，设u?V使的deg(u)=δ(G)，与u相关联的?条边必包含一个边割集，至少这?条边删除使图不连通。)故?(G)≤?(G)。;2)再证k(G)≤?(G)： (a)设?(G)=1，即G有一割边，显然这时k(G)=l，上式成立。 (b)设?(G)≥2，则必可删去某?(G)条边，使G不连通，而删去其中?(G)-1条边，它仍是连通的，且有一条桥e=(u，v)。对?(G)-1条边中的每一条边都选取一个不同于u，v的端点，把这些端点删去则必至少删去?(G)-1条边。若这样产生的图是不连通的，则k(G)≤