追形逐意学直线悟道明理求本源.docVIP

追形逐意学直线悟道明理求本源只学其形，题目浩如烟海；力求其意，本源寥若晨星． 从一些有着些许关系的题目中，努力寻求能在将来帮助我们学习与解决问题的一些本质性的东西，这样做很重要．下面就给出一些关于直线方程及定点问题的题组，先做一做，再看一看，对一对，最后悟一悟，请大家去尝试着发现点什么． 题组一 关键词：斜率，直线 做一做 1 已知直线过点（1, 2），且倾斜角的大小为90°，则该直线的方程为 ． 2 已知直线过点（1, 2），且倾斜角的余弦值为32，则该直线的方程为 ． 3 已知直线过点（1, 2），且与直线2x－y+3=0平行，则该直线的方程为  ． 4 已知直线过点（1, 2），且与直线2x－y+3=0垂直，则该直线的方程为  ． 看一看 1 倾斜角的大小为90°是特殊情况，特事特办，直接写出直线方程． 2 该题的斜率与条件“倾斜角的正弦为12”直接有关，故应从该处入手解题．解题时还应注意，别把条件“正弦”误以为是“正切”． 3 先由条件“平行”直接确定所求直线的斜率，再求直线方程． 4 先由条件“垂直”直接确定所求直线的斜率，再求直线方程． 对一对 1 因为直线的倾斜角为90°，所以此时直线与x轴垂直且过点（1, 2），则直线的方程为x=1． 2 因为直线倾斜角的余弦值为32，所以倾斜角的大小为30°，则倾斜角的正切值为33．所以直线的方程为y－2=33(x－1)，即3x－3y+6－3=0． 3 因为直线2x－y+3=0的斜率为2，且所求直线与该直线平行，所以所求直线的斜率也为2，则直线的方程为y－2=2(x－1)，即2x－y=0． 4 因为直线2x－y+3=0的斜率为2，且所求直线与该直线垂直，所以所求直线的斜率为－12，则直线的方程为y－2=－12(x－1)，即x+2y－5=0． 悟一悟 一点一斜率，一式一直线． 在已知一个点的坐标的情况下，弄清楚求斜率k的方法是首要任务．接下来就要认真分析条件，借助已给出的条件构造必要的关系式，求出斜率，至此求得直线方程也就是很显然的事情了．简言之，要求直线，先求斜率；若求斜率，必找关系． 我们知道，在高中《必修2》中，直线的方程有五种不同的形式．在求直线方程时，要用哪个方程形式来求，并非是最紧要的事（需观察并运用题目本身的特点，就可能找到简洁的方法）． 题组二 关键词：直线，定点  做一做 1 若直线的方程为y=kx+1，则直线经过定点 ． 2 若直线的方程为y=k(x+1)，则直线经过定点 ． 3 若直线的方程为y－2=k(x+1)，则直线经过定点 ． 4 求证：无论实数k取何值， 直线(1+k)x－(2k－1)y－(4k+1)=0必经过一个定点． 看一看 1 令x=0，即可求得直线所过的定点坐标． 2 令x+1=0，即可求得直线所过的定点坐标． 3 令x+1=0，即可求得直线所过的定点坐标． 4 既然“无论实数k取何值”直线必过定点，那么就“随便”取两个k值构造出两条直线的方程，再求其交点即可得到定点．换个角度，考虑某种特殊的方程形式亦可解决问题． 对一对 1 令x=0，则有y=1，即直线y=kx+1经过定点（0， 1）． 2 令x+1=0，则有x=－1, y=0，即直线y=k(x+1)经过定点（-1，0）． 3 令x+1=0，则有x=－1, y=2，即直线y－2=k(x+1)经过定点（-1, 2）． 4 证明：取k=0，则有x+y－1=0； 取k=1，则有2x－y－5=0． 解方程组x+y－1=0，2x－y－5=0得x=2，y=－1. 把x=2, y=－1代入到(1+k)x－(2k－1)y－(4k+1)得 (1+k)2－(2k－1)(－1)－(4k+1)=2+2k+2k－1－4k－1=0． 即无论实数k取何值，直线必经过定点（2， -1）. 还有另一种证法： 由(1+k)x－(2k－1)y－(4k+1)=0， 得(x－2y－4)k+(x+y－1)=0， 令x－2y－4=0，x+y－1=0， 解x－2y－4=0，x+y－1=0得x=2,y=－1. 即无论实数k取何值，直线必经过定点（2， -1）． 悟一悟 取值代系数，多线共定点． 所谓“无论实数k取何值，直线必经