10 第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性.docVIP

第十节 连续函数的运算与性质 分布图示 ★ 连续函数的运算 ★ 反函数的连续性 ★ 复合函数的连续性 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 初等函数的连续性 ★ 例5 ★ 幂指函数（例6） ★ 最大值和最小值定理 ★ 零点定理与介值定理 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 一致连续的概念 ★ 例10 ★ 例11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 习题 1- 10 内容要点 一、连续函数的算术运算 定理1 若函数在点处连续, 则 在点处也连续. 二、 反函数与复合函数的连续性 定理2 若函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数也在对应的区间 ,上单调增加（或单调减少）且连续. 定理3 若, 函数在点a出连续, 则有 . (10.1) 定理4 设函数在点连续, 且, 而函数在点连续, 则复合函数在点也连续. 三、初等函数的连续性 定理5 基本初等函数在其定义域内是连续的. 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 注：定理6的结论非常重要，因为微积分的研究对象主要是连续或分段连续的函数. 而一般应用中所遇到的函数基本上是初等函数，其连续性的条件总是满足的. 从而使微积分具有强大的生命力和广阔的应用前景. 四、闭区间上连续函数的性质：最大最小值定理 有界性定理 零点定理 介值定理 例题选讲 反函数与复合函数的连续性 例1 (E01) 求 . 解 例2 求 . 解 例3 求 解 令则 易见当时 , 所以 例4 (E02) 求 . 解 因为 所以 初等函数的连续性 例5 (E03) 求 . 解 因为是初等函数，且是其定义区间内的点，所以在点处连续，于是 例6 (E04) 求 . 解 闭区间上连续函数的性质 例7 (E05) 证明方程在区间(0, 1)内至少有一个根. 证 令则在上连续 .又 由零点定理 , 使即 方程在内至少有一个实根 例8 (E06) 设函数在区间[a, b]上连续, 且 证明: 存在, 使得 证 令则在上连续 . 而由零点定理 , 使 即 例9 证明方程 有分别包含于(1, 2), (2, 3) 内的两个实根. 证 当用乘方程两端，得 设则 由零点定理知，在与内至少各有一个零点，即原方程在与内至少各有一个实根 . 一致连续性 例10 证明函数在内是一致连续的. 证 因为 所以对于任给只要取对内的任意两点当时，就有 因此在内是一致连续的 . 注：由一致连续的定义可以知道，如果函数在区间上一致连续，则在区间上必定连续 .但是反过来不一定成立 . 例11 试说明函数在区间上是连续的,但不是一致连续的. 证 因为函数是初等函数，它在区间上有定义，所以在上是连续的 . 假设在上一致连续，应该使得对于上的任意两个值当时，就有 现在取原点附近的两点显然 因 故只要取得足够大，总能使但这时有 不符合一致连续的定义，所以在上不是一致连续的 . 课堂练习 设, 试研究复合函数与的连续性. 2. 估计方程的根的位置.