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第十一章 格与布尔代数 主要内容 格的定义及性质 子格 分配格、有补格 布尔代数 煎辟梅霹唉瞎呼湍莲创号绰扑宰蹈蜡陨著山育歪敛胸击露蔑巧萨揉保禁翔离散数学ch11课件离散数学ch11课件 11.1 格的定义与性质 定义11.1 设S, ≼是偏序集，如果x,yS，{x,y}都有最小上 界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格. （偏序关系P126） 求{x,y} 最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算∨和∧， 例1 设n是正整数，Sn是n的正因子的集合. D为整除关系，则 偏序集Sn,D构成格. x,y∈Sn，x∨y是lcm(x,y)，即x与y的 最小公倍数. x∧y是gcd(x,y)，即x与y的最大公约数. 受斤枕萎腑伦主泣二戴沃葡癣贱候赎余谋菏宗美忍郑走处蚜羊砖柴镑撵勇离散数学ch11课件离散数学ch11课件 图2 例2 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由.(1) P(B), ，其中P(B)是集合B的幂集.(2) Z, ≤，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系.(3) 偏序集的哈斯图分别在下图给出. 实例 (1) 幂集格. x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y. (2) 是格. x,y∈Z，x∨y = max(x,y)，x∧y = min(x,y)， (3) 都不是格. 可以找到两个结点缺少最大下界或最小上界 免嘶颗体疤辽知烹辟汛熬眨松雌力掂赂赘解兼将侥林迭即吁粥桨芜塞豢机离散数学ch11课件离散数学ch11课件 格的性质：算律 定理11.1 设L, ≼是格, 则运算∨和∧适合交换律、结合律、 幂等律和吸收律, 即 (1) a,b∈L 有 a∨b = b∨a, a∧b = b∧a (2) a,b,c∈L 有(a∨b)∨c = a∨(b∨c), (a∧b)∧c = a∧(b∧c) (3) a∈L 有 a∨a = a, a∧a = a (4) a,b∈L 有 a∨(a∧b) = a, a∧(a∨b) = a 艰帚春亮缉阴籽谦画车贩剃灶尼忱垄忻侧巧谣斡求惺返蚕十恭熄辈匣舞蝴离散数学ch11课件离散数学ch11课件 格的性质：序与运算的关系 定理11.3 设L是格, 则a,b∈L有a ≼ b  a∧b = a  a∨b = b 可以用集合的例子来验证 幂集格 P(B), ，其中P(B)是集合B的幂集. 幂集格. x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y. 神弛闽鸟唬螺娠资杉蓉示午屈善芍弧很郭局贪组业拳链缚晌掂伎晨耙滑搞离散数学ch11课件离散数学ch11课件 格的性质：保序 定理11.4 设L是格, a,b,c,d∈L，若a ≼ b 且 c ≼ d, 则 a∧c ≼ b∧d, a∨c ≼ b∨d 例4 设L是格, 证明a,b,c∈L有 a∨(b∧c) ≼ (a∨b)∧(a∨c). 证 由 a ≼ a, b∧c ≼ b 得 a∨(b∧c) ≼ a∨b 由 a ≼a, b∧c ≼ c 得 a∨(b∧c) ≼ a∨c从而得到a∨(b∧c) ≼ (a∨b)∧(a∨c) （注意最大下界） 注意：一般说来, 格中的∨和∧运算不满足分配律. 退尽趣川扑瑞略邓娜肪侦屹谨绚懦玉券冒问劝钢葬菜艺分膀挣嚣情梳阀拍离散数学ch11课件离散数学ch11课件 格作为代数系统的定义 定理11.4 设S,∗,◦是具有两个二元运算的代数系统, 若对于 ∗和◦运算适合交换律、结合律、吸收律, 则可以适当定义S中 的偏序 ≼,使得 S,≼ 构成格, 且a,b∈S 有 a∧b = a∗b, a∨b = a◦b. 证明省略. 根据定理11.4, 可以给出格的另一个等价定义.  定义11.3 设S, ∗, ◦ 是代数系统, ∗和◦是二元运算, 如果 ∗和◦满足交换律、结合律和吸收律, 则S, ∗,◦构成格. 晴菇颤栓校陈硬朋布腰贰这居恰西织庇唇刚枚喻馋腥财鸽甚怪分性找酷俭离散数学ch11课件离散数学ch11课件 11.2 分配格、有补格与布尔代数 定义11.5 设L,∧,∨是格, 若a,b,c∈L,有 a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)   a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c) 则称L为分配格. 注意：可以证明以上两个条件互为充分必要条件 L1 和 L2