第五章曲线拟合课件.pptVIP

第5章 曲线拟合 曲线拟合的概念 在科学和工程试验中，经常产生一组数据(x1,y1),…,(xN,yN),如果所有的数值 {xk}, {yk}有多位有效数字精度，则能用多项式插值；若数据的精度不高，或者有试验误差，则只能使用多项式拟合。 误差（偏差、残差）的度量 误差ek=f(xk)-yk 其中1≤k≤N 最小二乘曲线 设 是一个N个点的集合，其中横坐标{xk}是确定的。最小二乘拟合曲线y=f(x)是满足均方根误差E2( f )最小的曲线。 最小二乘拟合直线 定理5.1 设 有N个点，其中横坐标{xk}是确定的。最小二乘拟合曲线y=Ax+B的系数是下列线性方程组的解，这些方程 称为正规方程： 正规方程的求解 幂函数拟合y=AxM 在某些情况下的拟合函数为f(x)=AxM，其中M是一个已知常数，此时只有一个参数A需要求出。 5.2 曲线拟合 给定N个点 ，要求用指数函数拟合 指数函数 y=CeAx 需确定系数C和A 线性化：Y=ln(y), X=x, B=ln(C), Y=AX+B 非线性化：求解下列正规方程组（非线性方程组） 数据线性化 线性最小二乘法 设有N个数据点{(xk,yk)},并给定M个线性独立函数{fj(x)}.为求M个系数{cj},使用由线性组合形成的函数f (x),表示为 线性最小二乘法（续1） 线性最小二乘法（续2） 线性最小二乘法（续3） 多项式拟合 使用函数集合{fj(x)=xj-1}, j=1,…, M+1作线性最小二乘，则得到的拟合函数f(x)为M阶多项式f(x)=c1+c2x+c3x2+…+cM+1xM 5.3 样条函数插值 分段线性插值 最简单的多项式是一阶多项式，即经过各点的多项式路径由包含各点的直线段组成 用拉格朗日多项式来表示分段线性曲线 得到的曲线看起来像折线 分段线性插值（续1） 如果利用线段的点斜式公式，可得到表达式的形式如下： 分段三次样条曲线 对数据集进行多项式曲线拟合在CAD，CAM和计算机图形系统中有许多应用。操作者希望画出的经过数据点的无误差光滑曲线 从数学角度分析，在每个区间[xk,xk+1]上构造一个三次函数Sk(x)，使得分段曲线y=S(x)和它的一阶导数和二阶导数在更大的区间[x0,xN]内连续。 插值样条函数的物理背景 样条函数定义 k次样条函数S(x)，是一种分段函数，它在节点 分成的每个小区间 上是k次多项式，而在整个区间 上k-1阶导数连续 常用三次样条函数 三次插值样条函数的定义 三次插值样条函数的系数确定 每个三次多项式Sk(x)有4个未知常数sk,0,sk,1,sk,2和sk,3，因此要求解4N个系数 数据点提供了(N+1)个条件，性质III、IV和V都提供了(N-1)个条件，总共确定了(4N-2)个条件。则剩下两个自由度，可在插值区间端点给出条件（端点约束） 三次插值样条函数的构造 由于S(x)是分段三次多项式，它的二阶导数S’’(x)在区间[x0,xN]内是分段线性的。根据线性拉格朗日插值，S’’(x)=S’’k(x)可表示为： 三次插值样条函数的构造（续1） 三次插值样条函数的构造（续2） 三次插值样条函数的构造（续3） 三次插值样条函数的构造（续4） 三次插值样条函数的构造（续5） 边界条件（端点约束） 紧压样条：给定S’(a)=d0和S’(b)=dN 自然样条：给定S’’(a)=0和S’’(b)=0 外推样条：在[x0,x2]和[xN-2,xN]上S(x)是三次曲线 抛物线样条：在[x0,x1]和[xN-1,xN]上S(x)是抛物线 端点曲率调整样条：给定S’’(a)和S’’(b) 周期样条： S(a)=S(b), S’(a)=S’(b), S’’(a)=S’’(b) 周期样条三对角方程组 三次样条函数的适宜性 插值三次样条函数的局限性 用插值三次样条函数构造的曲线可达到二阶连续，能够满足许多生产实际的需求，因而在航空和船舶制造中曾得到广泛的应用。但用样条函数方法构造曲线曲面存在下述问题： 无法处理斜率为无穷大的情况 不具有几何不变性 无局部性 不便进行坐标变换 不易处理多值曲线 因此，当代的CAD/CAM系统中已很少应用样条函数方法，而广泛采用各种参数方法构造曲线和曲面 周期函数 周期函数：g(x+P)=g(x),数P称为函数的周期 周期变换：设函数的周期为2π，如果g(x)的周期为P，则f(x)=g(Px/2π)的周期为2π 函数sin(jx)和cos(jx)，其