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2014年秋季湖北省重点高中联考 高三理科数学试卷（理科） 考试时间：2014年11月7日上午8:00-10:00 试卷满分：150分 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A．B． C． D． 若满足，则集合中的运算“”可以是 加法 B．C． D． 对于定义在实数集R上的狄利克雷函数， 则下列说法中正确的是 A．B．C．D． 正项等比数列{}的公比为2，若，则的值是 3 B．C． D． 5． A． B．C． D． A． B． C． D．A．B．C．D． 已知最小正周期为2的函数在区间上的解析式是，则函数在 实数集R上的图象与函数的图象的交点的个数是 A．B．C．D．． A．B．C．D．A．B． . 计算：= . 已知在中，若，，且点是的外接圆的圆心， 则的值是 . 设函数在实数集R上的最大值是，最小值是， 则的值为 . 对于任意的正整数，，定义，如：， 对于任意不小于2的正整数，，设……+， ……+，则= . 解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分11分）已知平面向量，. 求的最小值； 若（为实数），求 17.（本小题满分12分） 已知平面向量，，，。 求的最小值； 求的单调增区间。 （本小题满分12分） 在平面四边形中，。 求的长； 若，求的面积。 （本小题满分12分） 一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150km,在岸边距离点B300km的A处有一军需品仓库，有一批军需品要尽快送达海岛，A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送，火车时速为50km,轮船时速为30km,试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短。 （本小题满分14分） 递增等比数列中（），已知，，，成等差数列. 求数列的通项公式； 若恒成立，求实数的取值范围； 记的前项和为（），求证. 21.（本小题满分14分） 已知函数. 当时，求的单调增区间； 若时，恒成立，求实数的取值范围； 求证：对一切正整数恒成立。 2014年秋季湖北省重点高中联考高三理科数学答案 一、选择题：（共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题：（共分） ； 12、； 13、； 14、； 15、 16、解：（1）易得：，……4分 ∴当时，取得最小值.………………5分 依题意可列得：，解得：，或………………7分 而易得：，………………9分 当时，则；………………10分 当时，则.………………11分 17、解：（1）易得：=……2分 ==，………………4分 又∵，∴， 故当时，即时，函数取得最小值0. ………………7分 由上易得：令，解得：，………………11分 故所求得的函数的单调递增区间是，.………………12分 18、解：（1）在中，由余弦定理可列得： ，即：，………………3分 解得：.………………5分 由，易得：，………………6分 由，易得：，………………7分 故 ==，………………10分 故=.………………12分 19、设点C与点B的距离为，则运输时间 令，………………9分 ………………11分 所以所选点C在与点B的距离为112.5km处运输时间最短………………12分 20、解：（1）依题意可列得：，化简可得：，……1分 即为：，解得：，或，………………2分 而数列{}是递增数列，故，………………3分 则.………………4分 (2)依题意可列得：，即：， ①当时，则易得：，解得：，………………5分 ②当时，则，………………6分 而，………………7分 而易知：当时，的值是16；而当时，是， 故.………………8分 综合①、②可得：.………………9分 ①当时，则易得：，显然成立；………………10分 ②当时，则，…………11分 即有：，………………12分 故+……+ 即：， 综合①、②可得：命题得证. ………………14分 21、（1）函数的定义域为 ………………1分 ，即………………2分 在区间为………………3分 （2）。 若，则，时，。此时，在区间上为增函数。 ∴ 时，。符合要求。 ………………