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* （b）S平面无限大半圆的映射 结论：S平面无限大半圆映射为[GH]平面的坐标原点。 （c） S平面 jω轴段的映射 * Nyquist 图 * （3） 稳定性判断 不论K和T 值大小，Nyquist曲线始终顺时针包围（-1,j0）， 由于： N=-2 ，Z= P-N =0-(-2)=2 因此，系统有两个闭环极点在右半S平面，闭环不稳定。 推论：当S平面 Nyquist 轨迹的虚轴上有F(s)的奇点时，从应用的角度看，前面所述的 Nyquist 稳定判据仍然成立。 * * 练习题 已知反馈系统开环传递函数: 试用奈氏稳定判据判确定使系统闭环稳定的K值。 * 解: (1) 系统属“１”型系统, 开环右极点数：P=0 (2) 画Nyquist图，确定N＝？ Nyquist图的起点？ Nyquist图的终点？ 完整的Nyquist图？ * 由图看出，N＝0 或－ 2；取决于曲线在负实轴的交点位置。 若：N=0, 闭曲线不包围(-1,j0)点, Z=P－N=0,系统闭环稳定。 若：N=－2, 闭曲线顺时针包围(-1,j0)点2圈, Z=P－N=2, 系统有两个闭环右极点，不稳定。 曲线是否包围（-1，j0）点 ? * 求Nyquist图与负实轴的交点： 使系统闭环稳定的K值范围为: * 用保角映射关系证明映射定理： 设：Cs 包围 F(s)的零点个数为Z、极点个数为P。 当s1 沿闭合曲线 Cs 顺时针转动一圈时，两平面上封闭曲线的相角增量相同, CF 的相角增量可由图(a)关系确定 * 用保角映射关系证明映射定理： 当s1 沿闭合曲线 Cs 顺时针转动一圈时，两平面上封闭曲线的相角增量相同, CF 的相角增量可由图(a)关系确定： 说明：F(s)平面上对应的映射曲线将按逆时针方向包围坐标 原点 N 圈，并满足： N =（P-Z） * 例1 ～ 映射关系 Cs CF N = P-Z = 1-0 =1 Cs CF (说明映射曲线逆时针包围原点1圈) * 例2 N=P-Z=1-3= -2 Cs CF Cs (说明映射曲线顺时针包围原点2圈) * 映射定理： 设Cs为S平面上不经过F(s)的任何零点、极点的封闭曲线，Cs中包含了F(s)的P个极点和Z个零点，则当动点s顺时针在Cs上围绕一周时, 映射到F(s)平面上的闭曲线CF将逆时针环绕坐标原点 N 次。 并且满足: N = P-Z 映射定理给出了映射曲线CF逆时针环绕原点的圈数N与原平面封闭曲线Cs内包含的开环极点数目P、闭环极点数目Z之间的约束关系。 *  5.6－3 映射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 － Nyquist稳定判据 为了用映射定理作稳 定性分析,首先在S平面上 构造特殊的封闭曲线 － Nyquist路径。 注意： 解析性要求； Nyquist路径覆盖整个右半S平面； Nyquist 路径包含F(s)的P个极点、Z个零点。 Nyquist路径 一、Nyquist路径及其映射 * 映射关系： (1) S平面虚轴：s=jω，在F 平面上的映射曲线是： F(jω)=1+G(jω)H(jω) (ω：-∞～+∞) （这是 F 平面的封闭曲线） (2) S平面半径为∞的右半圆： 映射到F 平面上为: F (∞) = 1+ G (∞)H (∞) ＝ 1 这是F 平面上的一个定点（1,j0） 这说明s平面上半径为∞的右半圆，它对映射曲线是否 包围原点无影响。 F 平面映射曲线 1＋G(jω)H(jω)是封闭曲线，它环绕原点情 况（转向和圈数）服从映射定理。 * 进一步考虑，由于： F(jω)＝1＋G(jω)H(jω) (-1, j0) 0 0 [GH] [F] 1 ■ 可以在GH平面检查被分析系统的开环 频率特性G(jω)H(jω)（即Nyquist曲线） 是否包围（－1，j0）来判断系统闭环右极 点个数，满足映射定理：N = P-Z . ■ [F]平面、[GH]平面是平移关系, F(jω)包围坐标原点就等价于 G(jω)H(jω)包围（