图论20160608课件.ppt

* (2) 求安排----具体着色 GT MA G AC LA S 选课状态图 * 例2 交通灯的相位设置问题：如图所示，列出了繁华街道路口处的交通车道L1,L2,…,L9。在此路口处安置了交通灯。当交通灯处于某个相位时，亮绿灯的车道上的车辆就可以安全通过路口。为了(最终)让所有的车辆的灯都能够安全通过路口，对于交通灯来说，所需要的相位的最小数是多少？ L5 L4 L3 L2 L1 L9 L8 L7 L6 * 解：车道模型为顶点，两点连线当且仅当两个车道上的车不能同时安全地进入路口。 L9 L8 L7 L6 L5 L4 L3 L2 L1 G 问题转化为求G的点色数。一方面，G中含有K4,所以，点色数至少为4； L9 L8 L7 L6 L5 L4 L3 L2 L1 G * 另一方面，通过尝试，用4种色实现了正常点着色。 所以，最小相位为4。 L9 L8 L7 L6 L5 L4 L3 L2 L1 G 2 1 1 2 2 4 3 4 3 * (一)、有向图的概念与性质 (二)、有向图的连通性 八 有向图 * 1、概念 定义1 一个有向图D是指一个三元组(V(D) , E(D), фD)。其中，V(D)是非空的顶点集合，E(D)是不与V(D)相交的边集合，而фD是关联函数，它使D的每条边对应D的有序顶点对(不必相异)。 如果e是D的一条边，而u与v是使得фD(u,v)=e的顶点，那么称e是由u连接到v，记为e=u, v。同时，称u为e的弧尾(起点), v为e的弧头(终点)。 (一)、有向图的概念与性质 注：有向图可以简单地理解为“边有方向的图”。 * 例如： 有向图D v4 v3 v2 v1 e2 e1 e4 e3 e6 e5 e7 v3与v2分别是e1 的起点与终点。 定义2 在一个有向图D中，具有相同起点和终点的边称为平行边。两点间平行边的条数称为该两点间的重数。 例如，在上图中，e6与e7是平行边。 * 定义3 在一个有向图D中，如果没有有向环和平行边，则称该图为简单有向图。 定义4 设D是有向图，去掉D中边的方向后得到的无向图G，称为D的基础图。又若G是无向图，给G的每条边加上方向后得到的有向图D称为G的一个定向图。 e3 非简单有向图D v4 v3 v2 v1 e2 e1 e4 e6 e5 e7 简单有向图D v4 v3 v2 v1 e2 e1 e4 e6 e5 * 定义5 设D是有向图，v是D中顶点。以v为始点的边的条数称为点v的出度，以v为端点的一个自环算1度。点v的出度记为d+(v);以v为终点的边的条数称为点v的入度，以v为端点的一个自环算1度。点v的入度记为d-(v); 点v的出度与入度之和称为点v的度，记为d(v)。 有向图D v4 v3 v2 v1 e2 e1 e4 e6 e5 e7 * 2、性质 定理1 设D=(V, E)是有向图，则： 3、有向图的矩阵表示 例1 一个简单图有多少个定向图？ 答：因为每条边有2种定向方式，所以共有2 m(G)种定向。 * E=｛e1,e2,…,em｝ (1) 称A(D)=(aij) n×n是D的邻接矩阵，其中aij是vi为始点，vj为终点的边的条数，1≦i≦n,1≦j≦n。 定义6 设D=(V,E)是有向图，其中V=｛v1,v2,…,vn｝ (2) 若D无环。称矩阵M=(mij)n×m是D的关联矩阵，其中 * 例1 写出下面有向图D1的邻接阵和D2的关联阵。 v4 v3 v2 v1 D1 v4 v3 v2 v1 e1 e4 e3 e2 e5 D2 * 1、相关概念 (二)、有向图的连通性 (1) 有向途径(闭途径)、迹(闭迹)和路(圈) 上面概念与无向图中相关概念类似。 (2) 有向图中顶点间的连通性 定义7 设D=(V, E)是有向图，u与v是D中两个顶点。 1) 若D中存在一条(u，v)路，则称u可达v,记为u→v。规定u →u。 2) 若D中存在一条(u，v)路或(v, u)路，则称u与v是单向连通的。 * 3) 若D中存在一条(u，v)路和一条(v, u)路，则称u与v是双向连通的或强连通的。 D1 D2 D3 定义8 设D=(V, E)是有向图。 1) 若D的基础图是连通的，称D是弱连