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2012版高中全程学习方略配套:2.5《简单幂函数》(北师大版必修1)课件
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形如y=xα的函数叫幂函数,它具有两个特点:
(1)系数为1.
(2)指数为一常量(也可以为0),底数为自变量x.;【例1】函数f(x)=(m2-m-1) 是幂函数,且当
x∈(0,+∞)时,f(x)是增加的,求f(x)的解析式.
【审题指导】本题已给出与m有关的函数的表达形式,可以根
据幂函数的定义和其具备的特征求m的值,再据题中“当x∈(0,
+∞)时,f(x)是增加的”验证确定出m的值.;【规范解答】根据幂函数的定义得m2-m-1=1,
??得m=2或m=-1,
当m=2时,f(x)=x3,在(0,+∞)上是增加的,符合题意;
当m=-1时,f(x)=x-3,在(0,+∞)上是减少的,不合要求,故f(x)=x3.;【互动探究】若本例中其他条件不变,只把f(x)的解析式改为“f(x)=(m2-m-1)xm”,又如何求解?
【解题提示】由幂函数的定义和特征,列出方程求出m的值,然后根据幂函数的单调性确定m.;【解析】根据幂函数的定义得m2-m-1=1,
解得m=2或m=-1.
当m=2时,f(x)=x2,在(0,+∞)上是增加的,符合题意;
当m=-1时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上是减少的,不合要求,故f(x)=x2.;1.对幂函数定义的认识
幂函数y=xα,其本质特征是幂底数x为自变量,指数α为常量(也可以为0),这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据.;2.几类常见幂函数的图像与性质
(1)图像;(2)性质;【例】已知幂函数y=f(x)的图像过点(2, ),试求出此函数
的解析式,并作出图像,判断奇偶性、单调性.
【审题指导】本题中已知函数f(x)是幂函数且图像过点
(2, ),故可先考虑用待定系数法求出f(x)的解析式,然
后通过列表、描点画出f(x)的图像,再进一步判断奇偶性与
单调性.;【规范解答】设f(x)=xα,α∈R.
∵图像过点(2, ),∴ ,∴α= .
∴ .
函数 ,定义域是(0,+∞).
列表如下:;其图像如图所示.
由于定义域不关于原点对称,∴ 为非奇非偶函数,
在定义域(0,+∞)上是减少的.;【变式备选】(2011·滨海高一检测)已知幂函数f(x)=xm,且f(2)<f(3),其中m是关于x的方程x2+x-6=0的一个根.
(1)求实数m的值,并写出相应的函数f(x)的解析式;
(2)作出f(x)的图像并判断奇偶性.;【解析】(1)解方程x2+x-6=0得x=2或x=-3.
即m=2或m=-3.
又f(2)<f(3),∴m=2.即f(x)=x2.
(2)由(1)知f(x)=x2,x∈R.
列表:;其图像如图所示:
由图像可知f(x)=x2,x∈R是偶函数.;判断函数奇偶性的方法及关注点; 判断函数的奇偶性不要忽略函数的定义域.;【例2】判断下列函数是奇函数还是偶函数,并说明理由:
(1)f
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